Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
31 Зак. 184І. Л Г. Лойцянский 482
/ІИІІЛМИКЛ вязкой жидкости и глзл
[гл. Vltt
служить, например, период колебательного процесса, время прохождения телом какой-нибудь характерной длины (r частности, длины самого гела) и др.; масштабом длин — линейный размер тела, диаметр трубы и др.; масштабами скоростей, давлений, плотности, температуры и др.— соответствующие их значения в набегающем потоке „на бесконечности" или те же величины, построенные по заданным объемным, массовым, тепловым расходам, мощностям и другим характерным для явления и Известным наперед величинам. Разнообразие выбора масштабов явления велико и не может быть заранее ограничено какими-то общими указаниями.
Если выразить все величины, служащие для описания явления, л частях своих „масштабов", то эги величины станут безразмерными. Такими же безразмерными окажутся и уравнения, характеризующие явление, и граничные и начальные условия, если входящие в них величины заменить произведениями .масштабов на соответствующие безразмерные величины.
Сделаем это в только что выведенной системе уравнений динамики вязкой жидкости, причем удовольствуемся для простоты случаем стационарного обтекания тела при отсутствии объемных сил. В этом случае время явно не входит и масштаб времени можно не вводить; точно так же не придется вводить масштаб объемных сил. Примем за масштабы: один из размеров тела I и величины „на бесконечности" V03, роо, рсо, T00, i.f, и г. д. Условимся временно (эю не приведет здесь к путанице) обозначать безразмерные величины теми же буквами, что и размерные. Тогда замена размерных величин на безразмерные сведется к замене:
х на їх, у на ly, z на Iz; и на Voaи, V на VcolV, на VaiZO; р на poop, T на Tn00T, і на UJ.
Исключение сделаем лишь для давления р, приняв вместо отношения pjpm известный уже нам по предыдушему коэффициент давления р:
Р—Роэ
psssT^-
2 "со OO
Это выражение и примем за безразмерное давление. Таким образом, для давления произведем замену:
р на pro -р — рсо VtcP.
Подчеркнем, что эта уступка общепринятым обозначениям не имеет существенного значения и не ставит давление в какое-то особенное положение. <* 7М
подобиг гидродинамических явлений
Замечая, что масштабы являются величинами постоянными, не зависящими от координат, легко проведем указанную замену в системе уравнений динамики вязкого сжимаемого газа; будем иметь:
v^fnnduJU \ 1 Pc^ , ^oo Го д ( ди\ ,
і
is^ div (PV)=O,
j div I U00VcoP'V(і-ei + -J- V» V2)grad (-— і + V^ Vі) —
_^Sl JA (rot V X V — ~ V div v)] = о,
Pca +2'°'^ _ k- 1 . _ ( fCQt У'
k Uot> н "І /0 ) ¦
р Vа
Разделим обе части первых трех равенств на коэффициент (с°
при безразмерном конвективном ускорении. В четвертом равенстве масштабный множитель пропаде і. Обе части пятого равенсіва разде-
PcO ^OO ^CO T-V
лич на выражение -j-. В шестом равенстве произведем приведение к одному знаменателю и простые сокращения. В седьмом воспользуемся Произволом в выборе р.0, /0 и положим ja0 = jx00, i0 = i00. Тогда будем иметь в безразмерных величинах:
ди , 1 dp , IxCo Гп д ( ди\ ,
div(PV)= -ъг-+-^r-L-^ " '
div U f, +I^ V2J Qiad f|+ V~\ -
L со 'со со - 'со '
•J- Vj
оо r a
Pco^ 1C
Ji Crot V XV — I-Vdiv v)] = 0,
„ k 1 l'o , „ Pco
* OO "со r OD
31* 484
динамика вязкой жидкости й газА
{гл. VIIl
Величина: .
д __ PotV __ vOl 1Л0 vO
где V0, р0, jx0,/—- некоторые характерные для данного движения величины, называется по имени известного гидродинамика XIX в., который впервые ввел и рассмотрел эту величину, числом Рейнольдса (кратко, „число R"). Входящее в предыдущие уравнения число
P СО VJ VfxJ
обозначим через Rcn и будем называть „числом R на бесконечности" или „числом R набегающего потока". Далее, заметим, что в бесконечном удалении от тела скоростное поле однородно, скорости деформаций отсутствуют и движеиие вязкой жидкости совпадает с аналогичным движением идеальной жидкости. Следовательно, „на бесконечности" можно применять газодинамические формулы, изложенные ранее в гл. IV и VI для идеального г^а. Будем, в частности, иметь (здесь в промежуточных выкладках временно появляется газовая постоянная R, обозначение которой не должно быть спутано с числом Рейнольдса):
V2 Vі V1 V3
if e^fc = ^-8=8= 00 P =° _Р. ьрт СО
.Рею
і «•- , 2 і
1 Р„ 1 а^ 1
гЧ
к Vt k Vt kMt '
гсо * со * со * со OO
Заметив это, получим окончательно следующую систему безразмерных уравнений стационарного движения вязкого газа:
( ди і ди , ди\ 1 dp і 1 (о д ( ди \ ,
+ Ь f1^ <1'+ Ш+ Ъ ^ (?"+ S)] - і-SZ todiv v^'
f dv і dv і dv \ 1 dp , .(01)
, 1 I д Г f ди . dv \ I , ,, d ( dv \ .
+та ^ L1* +«I+i w (»-syi+ § 781 подобие гидродинамических явлений
485
/ dw , dw , dw\ 1 dv ,
, lfdf (du . dw\ . d Г (dv , d®\] ,
+ RT I~di L111W+ "SV + 'ду Г \~дї + Sj) г+
д(рЦ) t d(pt>) і d (PTo)^q dx "г" dy дг ' (21)
divjpV (i + МІ,V3^ — -^-!X grad [І- + (к — 1) M^Vі| — — ^j=J-M^0ji(rotV X V — |vdivv)} = 0,
