Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразовав аналогичным образом остальные два уравнения, будем иметь следующую систему уравнений изотермического движения несжимаемой жидкости:
Pf--Jf+^'"'
или в векторном виде:
dV
р ж = pF — grad р -+- (AV2V,
где под символом V2V понимается вектор с проекциями
V%, V2W.
Используя легко проверяемое непосредственным дифференцированием векторное соотношение
V2V = grad div V — rot rot V,
(14')
(16)§ 77] общие уравнения движения вязкой жидкости 477
которое в случае несжимаемой жидкости (div V = O) переписывается в виде:
V*V = — rot rot V,
будем иметь еще такую векторную форму того же уравнения (16): !IV
plI = pF — grad р — (a rot rot V. (16')
К выведенным динамическим уравнениям присоединяется уравнение сохранения массы (или уравнение неразрывности) (21) гл. II
~ -j- р div V = -f- div (pV) = 0,
не зависящее, очевидно, от того, принимается ли в расчеі вязкость или нет.
Уравнение баланса энергии (45) той же главы (§ 16) преобразуем в случае наличия вязкости, подставляя в него вместо P выражение (9) настоящей главы.
Предварительно находим:
PV = 2jj-5V — (р + j [і div V)SV = 2|iSV —(p + l-ii div Vj V. Произведение SV можно раскрыть, составив г'-ую проекцию
J=I J =1 J
2 Li дх* ^r 2 дхЛ2 AA V})
3== г
и заключив по последнему выражению, что
SV = |-(V.V)V + Igrad(^)j
с другой стороны, по известной формуле векторного анализа будем иметь:
(V • V) V = grad (-?) — V X rot V,
так что
SV = grad (-?)—¦§¦ V XrotV. Произведем еще в уравнении (45) гл. II замену: JcvT=JcpT-RT=Zi-Z-,
а по (48) гл. И:
Jpq = J div (A grad Т) = div Q- grad І).478 динамика вязкой жидкости и газа [гл. vm
Тогда уравнение баланса энергии примет вид: P 7Й (*+¦?) = Pp ¦ V + diV (У grad (^2)-^v X rot V -
_ рv — 2 ц у div V j -f p + div grad ij.
Ho, согласно уравнению (16):,
= + Pad „ + p di W = § + divfpV),
следовательно, после простых приведений получим такую окончательную форму уравнения баланса энергии:
-f div JVgrad (V2)— jxvXrot V — <j.V div V -f j- grad і|. (17)
В дальнейшем удовольствуемся рассмотрением преимущественно стационарных движений, причем в таких условиях, когда можно пренебречь влиянием объемных сил. В этих предположениях уравнение баланса энергии упростится. Действительно, при стационарном движении
или, вспоминая неоднократно ранее употреблявшуюся формулу векторного анализа
div (<эа) = о div a -f а • grad <э,
получим
P (і.....L-^:) = div [pv (-(/ + ?) div (PV).
Далее, при стационарном движении, согласно уравнению неразрывности (16):
div (PV) = О,
следовательно,
р ?(<+?)-"'• К<+?)]¦
Уравнение баланса энергии (17) в сделанных предположениях отсутствия объемных сил (F = 0) и стационарности = O^ примет удобный для дальнейших применений вид:
div J pV (л -КГ) _ р grad (~-f v^)-
— >j.rotVXV + |-(AVdivv] = 0. (18)§77] общие уравнения движения вязкой жидкости
479
В этом уравнении использовано принятое в § 75 обозначение (5) числа о; число о для совершенных газов будем считать постоянным.
Если к выведенной системе уравнений присоединить уравнение Клапейрона
¦j =RT, которое можно переписать в виде
и уравнение (3) в форме:
IaO
го в результате будем иметь общую систему семи уравнений с семью неизвестными:
и, V, w; р, р, i, Ji.
Система уравнений движения сжимаемого вязкого газа, таким образом, оказывается замкнутой — число уравнений совпадает с числом неизвестных.
Для решения этой, в общем виде весьма сложной нелинейной системы уравнений в частных производных необходимо еще знать начальные и граничные условия задачи. Укажем, что в своей общей постановке вопрос об условиях существования и единственности решения составленной системы уравнений до сих пор не решен. Соответствующие условия обычно указываются в каждом отдельном случае. Отметим лишь одну характерную физическую особенность движения жидкостей и газов с внутренним трением. При обтекании неподвижного твердого тела вязкой жидкосгью обращается в нуль не только нормальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место и в идеальной жидкости), по также и касательная ко.мпонента (условие „прилипания" жидкости к стенке или отсутствия скольжения жидкости по стенке).
В число граничных условий рассматриваемой задачи входит, таким образом, равенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой границе или, при движении тела в жидкости, совпадение с соответствующими скоростями точек поверхности тела скоросги частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела. Это граничное условие долгое время (еще в середине XIX в.) оспаривалось некоторыми исследователями, но в настоящее время подтверждено многочисленными прямыми и косвенными опытами. 1 Оговоримся, однако, что в разреженных
1 См. по этому поводу специальный очерк: „Заметка об условиях на поверхности соприкосновения жидкости с твердым телом", помещенный в конце второго тома монографии „Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости" (под ред. С. Гольдштейна). Гос. изд. иностр. л-ры, M., 1948, стр. 35С.480