Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 162

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 231 >> Следующая


Преобразовав аналогичным образом остальные два уравнения, будем иметь следующую систему уравнений изотермического движения несжимаемой жидкости:

Pf--Jf+^'"'

или в векторном виде:

dV

р ж = pF — grad р -+- (AV2V,

где под символом V2V понимается вектор с проекциями

V%, V2W.

Используя легко проверяемое непосредственным дифференцированием векторное соотношение

V2V = grad div V — rot rot V,

(14')

(16) § 77] общие уравнения движения вязкой жидкости 477

которое в случае несжимаемой жидкости (div V = O) переписывается в виде:

V*V = — rot rot V,

будем иметь еще такую векторную форму того же уравнения (16): !IV

plI = pF — grad р — (a rot rot V. (16')

К выведенным динамическим уравнениям присоединяется уравнение сохранения массы (или уравнение неразрывности) (21) гл. II

~ -j- р div V = -f- div (pV) = 0,

не зависящее, очевидно, от того, принимается ли в расчеі вязкость или нет.

Уравнение баланса энергии (45) той же главы (§ 16) преобразуем в случае наличия вязкости, подставляя в него вместо P выражение (9) настоящей главы.

Предварительно находим:

PV = 2jj-5V — (р + j [і div V)SV = 2|iSV —(p + l-ii div Vj V. Произведение SV можно раскрыть, составив г'-ую проекцию

J=I J =1 J

2 Li дх* ^r 2 дхЛ2 AA V})

3== г

и заключив по последнему выражению, что

SV = |-(V.V)V + Igrad(^)j

с другой стороны, по известной формуле векторного анализа будем иметь:

(V • V) V = grad (-?) — V X rot V,

так что

SV = grad (-?)—¦§¦ V XrotV. Произведем еще в уравнении (45) гл. II замену: JcvT=JcpT-RT=Zi-Z-,

а по (48) гл. И:

Jpq = J div (A grad Т) = div Q- grad І). 478 динамика вязкой жидкости и газа [гл. vm

Тогда уравнение баланса энергии примет вид: P 7Й (*+¦?) = Pp ¦ V + diV (У grad (^2)-^v X rot V -

_ рv — 2 ц у div V j -f p + div grad ij.

Ho, согласно уравнению (16):,

= + Pad „ + p di W = § + divfpV),

следовательно, после простых приведений получим такую окончательную форму уравнения баланса энергии:

-f div JVgrad (V2)— jxvXrot V — <j.V div V -f j- grad і|. (17)

В дальнейшем удовольствуемся рассмотрением преимущественно стационарных движений, причем в таких условиях, когда можно пренебречь влиянием объемных сил. В этих предположениях уравнение баланса энергии упростится. Действительно, при стационарном движении



или, вспоминая неоднократно ранее употреблявшуюся формулу векторного анализа

div (<эа) = о div a -f а • grad <э,

получим

P (і.....L-^:) = div [pv (-(/ + ?) div (PV).

Далее, при стационарном движении, согласно уравнению неразрывности (16):

div (PV) = О,

следовательно,

р ?(<+?)-"'• К<+?)]¦

Уравнение баланса энергии (17) в сделанных предположениях отсутствия объемных сил (F = 0) и стационарности = O^ примет удобный для дальнейших применений вид:

div J pV (л -КГ) _ р grad (~-f v^)-

— >j.rotVXV + |-(AVdivv] = 0. (18) §77] общие уравнения движения вязкой жидкости

479

В этом уравнении использовано принятое в § 75 обозначение (5) числа о; число о для совершенных газов будем считать постоянным.

Если к выведенной системе уравнений присоединить уравнение Клапейрона

¦j =RT, которое можно переписать в виде

и уравнение (3) в форме:

IaO



го в результате будем иметь общую систему семи уравнений с семью неизвестными:

и, V, w; р, р, i, Ji.

Система уравнений движения сжимаемого вязкого газа, таким образом, оказывается замкнутой — число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Для решения этой, в общем виде весьма сложной нелинейной системы уравнений в частных производных необходимо еще знать начальные и граничные условия задачи. Укажем, что в своей общей постановке вопрос об условиях существования и единственности решения составленной системы уравнений до сих пор не решен. Соответствующие условия обычно указываются в каждом отдельном случае. Отметим лишь одну характерную физическую особенность движения жидкостей и газов с внутренним трением. При обтекании неподвижного твердого тела вязкой жидкосгью обращается в нуль не только нормальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место и в идеальной жидкости), по также и касательная ко.мпонента (условие „прилипания" жидкости к стенке или отсутствия скольжения жидкости по стенке).

В число граничных условий рассматриваемой задачи входит, таким образом, равенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой границе или, при движении тела в жидкости, совпадение с соответствующими скоростями точек поверхности тела скоросги частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела. Это граничное условие долгое время (еще в середине XIX в.) оспаривалось некоторыми исследователями, но в настоящее время подтверждено многочисленными прямыми и косвенными опытами. 1 Оговоримся, однако, что в разреженных

1 См. по этому поводу специальный очерк: „Заметка об условиях на поверхности соприкосновения жидкости с твердым телом", помещенный в конце второго тома монографии „Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости" (под ред. С. Гольдштейна). Гос. изд. иностр. л-ры, M., 1948, стр. 35С. 480
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed