Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Окончательно общая форма линейной связи (7) между тензорами напряжений и скоростей деформаций будет иметь вид: ,
P = 2!xs+[i-(pu + p22 + p33)-|,xdivv]s. V (9)
Сделаем наиболее простое дополнительное допущение, что среднее арифметическое трех нормальных напряжений представляет давление в данной точке. Смысл этого допущения заключается в возможности рассмотрения величины Y (P11 -p P2s ~ЬРзй) как Функции
плотности и температуры, определенной, в случае совершенного газа, по формуле Клапейрона. Такое предположение является новым допущением или дополнительной гипотезой к обобщенному закону 474 динамика вязкой жидкости и газа [гл. viii
Ныогона. Приняв зі у шпогезу, сохраним для давления в вязком газе прежнее обозначение, положив1
у (Pu + /? + Pa) =^-P- (10J
Формула связи (9) приме і после этого вид:
P= 2^- (p + l-M'vVji. (11)
В качестве другого, более общего допущения можно принять, что среднее арифметическое трех нормальных ,ппряженнй отличается от только что определенного давления в данной точке на величину, пропорциональную скорости объемного расширения div V При этом вместо равенства (10) будем иметь
-?г (/>11 +/>22+;?) = -P + •>'div V, (10)
где р/ — новый коэффициент вязкости, называемый вторым коэффициентом вязкости, а соответствующее ему явление — второй вязкостью.2 Сделанное допущение преобразует формулу связн (9) к внду
P = 2ti5-(p+-|l)idivV—H'divVjg (11')
Вторая вязкость приобретает особо важное значение прн изучении медленно развивающихся процессов, время релаксации которых велико, например, при образовании в движущемся газе химических реакций, скорость которых мала Как показывает теоретическое нсследованис, коэффициент второй вязкости равен нулю, еелн газ одноатомен й
Во всем дальнейшем изложении удовольствуемся предположением, что вторая вязкость отсутствует ([)•' = 0)
Связь между компонентами гензора напряжения и іензора скоростей деформации, согласно формуле (11), имеет вид-
Pij =
/
dV, dV
. 0 dVt 2 /W1 . dl/s . dVA
(12)
Формулы упрощаются в частном случае движения несжимаемой жидкости, KOi да
divV =avI і дУ2 . avt _0
дх, ' дх» ' дхя '
1 Выбор отрицательного знака в правой части уже был пояснен в § 17,
! Л И.
J На возможность такого допущения указывал еще Стою и после него в своих лекциях по теории тепла — Кнрхгофф Современное изложение этого специальною вопроса см Л Ландау н F Л н ф ш и Ц, Механика сплошных сред Гостехиздаї, 1944, стр 46—47
J См цитированную книгу Л Ландау u F Лнфшица, стр 434 общие уравнения движения вязкой жидкости
475
в эюм случае имеем-
/dVt , dV,\
при
Pv =
, Г, dVt
(13)
dxt
При квазитвердом движении, лишенном деформаций:, V = V0-|-«)Xr; I
vI = vOl 4" — 03SxS, J
^2 = ^02 + Vl- ш1*3> I
1/g = IZ03 4- W1X2 — OJ2X1,
скорости сдвига (скошений углов), стоящие в первой строке системы (13), и скорости относительных удлинений, входящие слагаемыми во второй строке, обращаются в нуль, и напряжения сводятся к давлению — р, так же, как в идеальной жидкости.
В плоском прямолинейном движении, рассмотренном в начале настоящей главы, будем иметь:
V1 = U, V2=Vi = O, и = и(г);
du
PiS ~Pas,: — S1
т. е. формулу (1).
§ 77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. Динамические уравнения и уравнение баланса энергии. Граничные условия движения жидкости с трением и теплопроводностью
Вернемся к выведенным еще в гл. II уравнениям динамики сплошной среды (29), которые именовались „уравнениями в напряжениях", и заменим в них напряжения но формулам (12) настоящей главы. Тогда получим основную динамическую систему уравнений движения вязкого газа: du
с др і „ д { ди ч , д Г (ди , ди\
-Pf*-дї-г2 ш) + djLix feт Ш)
4-
+-Ш [v- (?+ ж)) —§ ^dlv V)'
dv dp , д Г (-ди . d»\"l Q д ( dv\ .
PIt - їр>і—дї +?fe +^jJ і- 2 ъ (? 4-
+І [»* (5+0)]'- т^г d,v v),
(14) 476 динамика вязкой жидкости и газа [гл. viii
Стоящие в левой части системы проекции ускорения должны быть известным уже образом разложены на локальные и конвективные части. Основная сложность системы (14), кроме нелинейности конвективных членов, заключается еще в том, что коэффициент вязкости р. является функцией температуры Т, а распределение температур, в свою очередь, как это уже известно из динамики идеального газа, зависит ог поля давлений и скоростей.
Система (14) может быть записана в компактной векторной форме, если в основное уравнение динамики сплошной среды (36) гл. II подставить выражение тензора напряжений в форме (11). Тогда, вспоминая (§17 гл. II), что («— скалярная функция)
Div (?$) = grad у,
будем иметь:
р & = pF + 2 Div (^) - grad (р +1 ? div v). (15)
Система уравнений (14) значительно упрощается в случае изотермического движения несжимаемой жидкости. Вынося в первом уравнении системы (j, за знак производной, получим:
du_ р __ др_ , /д2и , д2и і д2и\ . д / ди , dv_ , дшЛ
р dt ~ Гж дх ' V' I.дх2 ' ду2 ' dz*)г~ дх {дх ' ду ¦ WJ'
или, замечая, что в силу уравнения несжимаемости последняя скобка в правой части обращается в нуль:
