Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
При приближенных расчетах удобно, как далее будет показано, принимать для газов о=1, иногда о = 0,75.
Совершенно иначе обстоиі дело с величиной о для жидкостей', в этом случае о имеет совсем другой порядок величин и, кроме того, сильно зависит от температуры. Так, например, для воды о быстро убывает от значения 13,7 при 0° до 1,75 при 100°, трансформаторное масло имеет о = 220 при 40° и о = 100 при 80°. Отсюда следует, что при рзучении движения вязких жидкостей в неизотермических условиях приходится считаться с сильным влиянием температуры на величину о, при движении совершенных г азов этим влиянием можно пренебрегать
§ 76. Обобщение закона Ньютона на случай произвольного
движения среды. Закон линейной связи между тензорами напряжений и скоростей деформации
Возвращаясь к формуле (1), можем ее гракговаїь как закон пропорциональности одной из касательных компонент іензора напряжения, соогвегсівующеи рассматриваемому часіному случаю плоского прямолинейного движения, компоненіе тензора скоростей деформаций
Pxd — !i^av.
Обобщая закон Ньютона (1) на случаи произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде предсіавляет линейную функцию тензора скоростей деформации. Эту, хорошо оправдываемую на опыте для большинства употреби іельньїх жидкостей и газов гипотезу можно было бы назвать обобщенным законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнительно предположить движущуюся среду „изотропной", і. е. такой, 410 физические ее свойства не зависят от каких-либо особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений P и тензором скоростей деформаций S должны быть скалярами, и искомая связь сводится к форму ie
Я = + (7) 472
динамика вязкой жидкости и газа
[гл. vih
где а и b — скаляры, а § — тензорная единица, т. е. тензор с компонентами; 1
{ 0 при іфІ, , Sy = L (К J= 1,2,3),
J I 1 при і =/,
сохраняющий свойство сферической симметрии в любой ортогональной системе координат и соответствующий принятой изотропии среды. По условию линейности связи скаляр а не может зависеть от компонент тензоров P и 5 и поэтому является физической константой среды, не зависящей от формы ее движения; имея в виду, что формула (7) является обобщением закономерности (1), примем для коэффициента а обозначение:
a = 2ft.
Скаляр b может быть связан линейным образом с компонентами тензоров Pv.S только через скалярные линейные комбинации этих компонент.
Как уже упоминалось в гл. I, всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту осей координаг. Таким образом, в выражение скаляра Ь могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформации, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для тензора 2-го ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали, в чем легко убедиться, составляя указанную сумму в двух произвольно повернутых друг по отношению к другу системах координат и используя связь между компонентами тензора в этих системах координат.
Линейным инвариантом тензора напряжений будет сумма трех нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке потока, г. е. величина
Рп+Р22 + Рзв-
Линейным инвариантом тензора скоростей деформации буде і служить сумма
С с _L с _ dvI -I дI dvZ равная, очевидно, дивергенции скорости divV.
1 При выводе основных уравнений движения иендеальною іаза для упрощения вида формул представляется удобным принять следующее обозначение коордннат: X = X1, у = х2, z = xs и аналогичным образом нумеровать компоненты векторов и тензоров. Так, проекции скорости дальше будут обозначаться Viii = 1, 2, 3) вместо обычных у нас (и, v, да); компоненты тензора напряжений Pq(i, j = 1, 2, 3) вместо ранее применявшихся рхх, . ..,рух, § 76] обобщение закона ньютона 473
Принимая, как наиболее общую, связь между величиной b и эгими инвариантами в форме
Ъ = Ь' (P11 + /уа2+P33) + b" div V + b'", где //, Ь", Ь"' — некоторые константы, получим
P = 2\iS + [/;' (pu -f р22+р88) + Ь" div V + b"'\ %. (T)
Взяв сумму трех диагональных компонент левой и правой частей равенства (7'), будем иметь:
Pu + Рйа -f P33 = 2,х diV V -f 3// (рп + P22+р88) + Зb" div V + 3b'", или, совершив приведение подобных членов:
(1 - Zb') (рп + p22 + рш) = (2p + Ж) div V + Zb'". (8)
Предположим теперь, что рассматриваемая среда находится в покое, тогда div V = O, а сумма нормальных напряжений, как было доказано в гидростатике (гл. II, § 17), станет равной
Яп+ P22-I-Pss=-3Po. где /»0 — гидростатическое давление, и равенство (8) приведется к виду:
(1 —¦ Sb') р0 = ЪЬ"'.
Из эгого равенства в силу произвольности величины гидростатического давления сразу вытекает:
?' = 1, Ь"' = 0.
После эюго из" равенства (8), верного при любом div ЧфО, следует, что
