Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
V = ± I VІ еІЬ.
Тогда предыдущие формулы силы и момента приведутся к виду: R = Rx-\-iRy= —I V|»ife,
L0 = - |-д. ч. 11 Vfe-^zdz.
Заменим в этих формулах
I VI = ± Ve-м _ -н уе№.
тогда получим:
R=R^iRu=Pi Г 77'
V--Yyi V\*dz = ^§ V^ dz,
In = -P д.
L-O = —-2 д. ч. (Ь
(89)
Таковы известный формулы Чаплыгина, выражающие сопряженный вектор силы и момент сил давления потока на тело. Вспоминая, что по предыдущему
V = -^ dz ¦¦
перепишем формулы Чаплыгина еще в таком виде:
о
I0=-Iд. 4.|(§J!zdz.
(90) 286
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИг ЖИДКОСТИ
і пі. V
Сопряженная скорость V = ^r является голоморфной функцие(
переменного Z во внешней по отношению к контуру С части физи
ческой плоскости z. Следовательно, интегралы (90) можно вычислят!
по любому контуру, охватывающему контур С, в частности по окруж
і •— dy
ности круга С. Вместе с тем функция V (г) = может быть н;
этом контуре С и во всей внешней по отношению к нему області разложена в ряд по отрицательным степеням z\
(М
в котором свободный член представляет, очевидно, сопряженнук скорость на бесконечности:
U0 = (V)z=CO=Vo,. (91'
Остальные члены, как известно, могут быть найдены при помощ* контурного интегрирования по формулам:
an = ±§Vz«-idz=±$%zn-idz.
dy
Значения этих коэффициентов зависят от вида функции , т. е,
от характера обтекания профиля и от его формы. Просто вычисляется коэффициент O1; он оказывается равным
= кг$ % dz = Sffjf'=**=ш> ^
т. е. зависит только от циркуляции скорости вокруг профиля.
Покажем, что сила и момент при обтекании произвольного профиля зависят лишь от первых трех коэффициентов разложения (91): й0, O1 и я2. Для этого подставим в выражение (90) разложение (91), причем сохраним под знаком интеграла лишь те слагаемые, которые дают отличные от нуля значения; вспоминая, что
d? [ при и=1, ^n ( 0, при пф-l, ^ будем иметь:
R= t
f
„ , ?.{ і аІ + 2а(Рї і \
д. _)-----
- тер д. ч. § 44] применение метода комплексных переменных 287
Используя выражения (91') и (91") первых двух коэффициентов а0 и Olt получим:
Я = —ZpVcoT, I ,
1 (92)
L0 = — 2ттр д. ч. (i Vcoa2). J
В первой из этих формул нетрудно узнать формулу Жуковского. Величина подъемной силы равна | = р| Vco] Г; множитель (—і) показывает, что направление комплексного вектора R можно получить поворотом комплексного вектора V00 на 90° в сторону, противоположную „положительному направлению циркуляции". Используя полученное раньше выражение циркуляции (81), будем иметь:
R = 4ярОТео« j Veo Isin (S0-Oco) =
= 2KprnodU I Ve012 [е* (e°-3<U - е~% (93)
Что касается выражения момента L0, то для его вычисления необходимо знать величину коэффициента й2 в разложении сопряженной скорости (91). Подчеркнем еще раз, что для вычисления силы и момента не нужно знать полностью обтекание крыла, т. е, все коэффициенты разложения (91),—достаточно располагать лишь первыми тремя коэффициентами а0, ал и а2.
Рассмотрим для иллюстрации вновь обтекание пластинки (§ 40), представленное формулой сопряженной скорости (60'). Составим разложение скорости в ряд по отрицательным степеням Z'.
Ї7/ ч • 1 Г* —с ¦ , cvJ 1 с%со* ,
V(Z) = U00-Wco у JJ^ = U00-W00-]-----2" --Г
Сравнивая это разложение с рядом (91), получим:
CIq : - Ucо VVco = Vco, U1 = Civ0о = Ci I V001 sin а, а2 = — Y C2Ivco = — -І- сЧ J V00 j sin а. Находим по (92):
Rx + iRy =-iP («со + IV00) Г = PVooT-фИооГ,
ИЛИ ПО (61):
Rx= — 2ярсг4, Rv = 2тгрсИсог>со.
Момент L0 по второй из формул (92) будет равен:
iO = — 2Ttp Д. ч. |_ -CHvoa . І («со — If00)] =
==-ItpcaV00 Д. Ч. («со-Ifeo) = — ярс2«оо®«>. 288
ПЛОСКОЕ ПЕЗВИХРЕВОГ. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
frJl. у
Переходя ОТ проекций скорости Uco, Vco K ИХ выражениям через модуль скорости и угол атаки Ot = O00, окончательно получим:
Rx=- 2тире I Vm I2 Sin2 а, Ry = 2ттрс I Voa I2 Sin а COS а, L0 = — Ttpc21 Vca I2 sin а cos а.
Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно точки О, можем найти уравнение линии действия равнодействующей. Обозначим через х и у текущие координаты точки на линии действия равнодействующей; тогда уравнение этой линии будет
xRy—у Rx = L0,
или, используя предыдущие выражения и произведя очевидные сокращения:
х sin a cos а -]-у sin2 а = — — с sin а cos а.
Точка Ц (рис. 92) пересечения линии действия подъемной силы с пластинкой называется центром давления. Если привести все силы
давления потока на пластинку к одной силе R, то эта сила будет приложена в центре давления Ц. Полагая в последнем уравнении у = О, найдем абсциссу положения центра давления Ц на пластинке:
с
Центр давления потока на пластинку находится на четверти ее длины от передней кромки, причем,
как показывает последняя формула, положение центра давления не зависит ни от скорости набегающего потока, ни от угла атаки. Вводя в рассмотрение коэффициент момента
х ¦¦
Рис. 92.
"т і
-к9 \
будем иметь при малых углах атаки (sin а = а, cos а = 1):
