Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
теряется при переходе от г? к /(г?). Так, например, 1=0 всякий раз, когда
все связки эквивалентны, что выполняется для таких принципиально отличных
молекул, как н-бутан, циклобутан, циклопентан, тетраэдран, додекаэдран, и
для многих других.
Информация о размере молекул (число связок) должна быть добавлена к
уравнению (3), чтобы сделать его применимым в общем случае. Правильная
форма слагаемого может быть выведена исходя из условия, что выражение для
сложности должно вести себя одинаково независимо от того, являются ли все
связки эквивалентными или же неэквивалентными [19, 22]. Наилучшим образом
это может быть осуществлено добавлением т? log2 г? к выражению (3), что
дает уравнение (4), которое отражает как размер (через число связок), так
и симметрию (на основе эквивалентных связок) молекулярного графа.
Проиллюстрируем применение уравнения (4) на примере трет-бутилацетилена
(рис. 2, б), имеющего четыре набора, каждый из которых содержит три
эквивалентные связки. Его сложность, следовательно, равна С (г?) = 2 х 12
log2 12 - 4 х 3 log2 3 = 71,8. Мы сохраняем в лучшем случае один
десятичный знак после запятой и часто округляем до ближайшего целого
числа. Использование log2, а не общепринятого log10 может озадачить
некоторых (как это было с одним рецензентом); однако.в настоящее время
мощные карманные микрокалькуляторы настолько широко распространены, что
никто все равно не использует таблицы десятичных логариф-
(2)
/ = VH = т? log2 г? - ? I}, log2 г?,.
(3)
С (г?) = 2r? log2 т? - ? г?, !og2 гI.
(4)
244
С. Бертц
мов. Кроме того, log2 действительно более удобен, поскольку оси вращения
второго и четвертого порядков намного шире распространены, чем десятого
или сотого. Так, например, сложность 2,4-диметилгексана может быть
рассчитана без калькулятора как С(ч) = 2x8 log2 8-4 log2 4-2x2 log2 2 = 2
х 8 X 3 - 4 X х 2 - 2 х 2 х 1 = 36.
Гетероатомы (атомы элементов, отличных от элемента, атомы которого
преобладают) также могут быть включены в нашу схему с помощью формулы
Шеннона. Разметка молекулярного графа таким образом, чтобы ранее
эквивалентные вершины становились неэквивалентными, увеличивает величину
С(ч), так как прежде эквивалентные связки по необходимости становятся
неэквивалентными. С другой стороны, величина C(jj) не изменяется, когда
метка не влияет на классы эквивалентности связок. Тем не менее, будучи
помеченной, молекула становится более сложной, и эта сложность может быть
рассчитана по уравнению (3); добавив эту величину к уравнению (4), можно
получить величину полной сложности Ст [19]. Предостережением против
одновременного суммирования числа сложностей или числа индексов является
тот факт, что если это осуществить, то отдельные величины исчезают из
виду в этой сумме, и на основании полученного таким образом числа нельзя
сказать, присутствуют гетероатомы или же нет.
Наличие гетероатомов является превосходным примером, иллюстрирующим
поведение формулы "информационной энтропии" Шеннона [уравнение (2)],
представленное графически на рис. 3. Когда все атомы одинаковы, скажем X,
энтропий равна 0. Если атомы изменяются (т.е. переобозначаются) от Г к 1,
то энтропия увеличивается до тех пор, пока не достигнет максимального
значения,
О
0,2
0(3
1-/
0?
0,8 1,0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 рис. з. Кривая энтропии Шенно-
Ру на. (Отметим, что Н = /.)
Математическая модель молекулярной сложности
245
когда число атомов X и Y будет одинаковым. После этого величина энтропии
уменьшается по мере того, как остающиеся атомы X изменяются,
"превращаясь" в атомы Y до тех пор, пока атомов X не останется совсем и
все атомы будут помечены как Y.
Больцман связывал энтропию с величиной беспорядка в системе и с "потерей
информации" ([23], с. 95). Шеннон обобщил это понятие, включив все виды
информации, а Мовшович [25] связал его со сложностью графов (и, по сути,
с системами, представленными графами). Таким образом, мы совершили полный
цикл, поскольку сложность и беспорядок связаны в том смысле, что чем
более неу-порядочена система, тем сложнее проблема ее описания (т.е.
требуется больше информации).
Как -отмечалось выше, мы не являемся первыми, использовавшими формулу
Шеннона совместно с теорией графов. Рашевский
[26] первым рассчитал "информационное содержание" графа, подставляя
наборы эквивалентных точек в уравнение (2), и Мовшович развил этот
подход. Бончев и Тринайстич [27] применили уравнение (3) к расстояниям в
графах. Насколько мы можем удостовериться, уравнение (4) является
оригинальным.
Уравнение (4), когда оно вводилось [19], было получено для общего случая
п инвариантов, и затем п было принято равным щ. В принципе п может быть
выбрано наиболее подходящим для целей моделирующего; например, Херндон
[28], подставив сумму степеней эквивалентных вершин v.t вместо л,,
получил уравнение
C(G) - 2V log V - Y, vi log ", , (5)
I
где V = ? vr
I
3. ПРОВЕРКА МОДЕЛИ
Для того чтобы удостовериться в том, что разработанная математическая
