Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для понимания систематики полиэдранов достаточно элементарных
топологических представлений. В любом полиэдре число вершин (у), ребер
(е) и граней (/) должно удовлетворять соотношению Эйлера [50]
v - е + / = 2.
(7)
140
Р Кинг
В простых полиэдрах, которым соответствуют структуры поли-эдранов,
поскольку каждое ребро соединяет точно две вершины и каждая вершина имеет
степень 3, также должно выполняться следующее соотношение:
2е = 3v. (8)
В полиэдране все числа вершин, ребер и граней полиэдра, соответствующего
данной структуре, определяемые уравнениями (7) и (8), имеют химический
смысл. Так, например, в полиэдране число вершин соответствует числу
углеродных атомов, число ребер - числу углерод-углеродных связей, а число
граней - числу циклов.
Имеют значение также размеры циклов в полиэдранах, позволяющие
приближенно оценить величину напряжения цикла. Шести- и пятичленные циклы
характеризуются относительно небольшим напряжением цикла. Однако
циклическое напряжение в системе увеличивается, если четырех- и в
особенности трехчленные циклы включаются в структуру. В связи с этим
имеет некоторое значение средний размер цикла а полиэдрана, который может
быть определен из следующего уравнения, поскольку каждое ребро соединяет
как раз две грани:
а - 2с//. (9)
Кроме того, комбинация уравнений (7)-(9) приводит к уравнению (10),
определяющему число вершин (т. е. углеродных атомов), необходимых для
достижения данного среднего размера цикла:
v = 4й/(6 - а). (10)
Из уравнения (10) следуют интересные особенности:
1. Три возможных целочисленных значения а (3, 4 и 5), соответствующие
значениям v (4, 8 и 20), описывают три возможных правильных простых
полиэдра: тетраэдр, куб и додекаэдр.
2. Когда полиэдран становится бесконечно большим (т. е. когда v
приближается к бесконечности), а асимптотически стремится к 6. Таким
образом, средний размер грани в полиэдране всегда должен быть меньше 6.
Следовательно, любой полиэдран будет содержать по крайней мере один цикл
с пятью или меньше вершинами.
При изучении полиэдров часто важным оказывается процесс превращения
полиэдра в двойственный ему полиэдр [51]. Данный полиэдр Р, может быть
превращен в двойственный ему полиэдр Р2 в результате следующего процесса:
1. Вершины Р2 располагаются в центрах граней Pj.
2. Две вершины Р2 соединены ребром тогда и только тогда, когда
соответствующие грани полиэдра Pj имеют общее ребро.
Топология связывания в полиэдрических молекулах
141
Этот процесс, который может быть назван дуализацией, имеет такие
особенности:
1. Число вершин и ребер в паре двойственных полиэдров Р, и Р2
удовлетворяет следующим соотношениям: v2 = /,, е2 = ех и /2 = = У,.
2. Двойственные полиэдры имеют одни и те же элементы симметрии и, таким
образом, принадлежат к одной и той же точечной группе симметрии.
3. Дуализация двойственного полиэдра приводит к исходному полиэдру.
4. Степени вершин полиэдра соответствуют числу ребер в многоугольниках,
представляющих собой грани двойственного ему полиэдра. Так, например,
вершины степени 3 в полиэдре становятся треугольными гранями в
двойственном ему полиэдре. Эта последняя особенность дуализации имеет
большое химическое значение, поскольку приводит к следующему важному
выводу: двойственные полиэдры простых полиэдров, соответствующих
структурам полиэдранов с локализованным связыванием, являются дельтаэдра-
ми, на основе которых построены полиэдрические структуры воронов и
кластеров металлов с делокализованным связыванием. Кроме того,
двойственные полиэдры простых полиэдров, имеющих треугольные грани
(соответствующие наиболее напряженным поли-эдранам), являются
дельтаэдрами с локализованными тетраэдрическими полостями. Таким образом,
процесс дуализации превращает полиэдраны с локализованным связыванием в
дельтаэдры с делокализованным связыванием.
Другим важным свойством полиэдров является транзитивность. Полиэдр со
всеми эквивалентными вершинами называется вершинно-транзитивным, так как
его точечная группа действует на его вершины транзитивно [52]. Полиэдр,
не являющийся вершинно-транзитивным, называется вершинно-нетранзитивным.
Реберная транзитивность определяется аналогично при использовании ребер
вместо вершин.
Простые полиэдры, соответствующие полиэдранам, могут быть
классифицированы на следующие четыре типа на основании их транзитивности
и наличия треугольных граней:
1. Простые полиэдры, являющиеся как вершинно-транзитивными, так и
реберно-транзитивными. Единственные примеры - три правильных простых
полиэдра, а именно тетраэдр, куб и додекаэдр.
2. Простые полиэдры, являющиеся вершинно-транзитивными, но реберно-
нетранзитивными. К ним относятся все призмы, кроме ку-
142
Р. Кинг
ба, так же как и семь относительно больших полурегулярных полиэдров, не
имеющих, однако, химического значения [53].
3. Вершинно-нетранзитивные простые полиэдры без треугольных граней.
4. Вершинно-нетранзитивные простые полиэдры по крайней мере с одной
