Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Кинг Р. -> "Химические приложения топологии и теории графов " -> 186

Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.

Кинг Р. Химические приложения топологии и теории графов — М.: Мир, 1987. — 560 c.
Скачать (прямая ссылка): himicheskieprilojeniya1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 216 >> Следующая

экстраполяции точных перечислений [43] и "численно точные" результаты,
полученные при использовании матриц переноса (см. ниже), подтверждают
такую функциональную зависимость от w. (Для "стержней" диаметром w вместо
лент это рассуждение проводится точно так же, за исключением того, что v
принимает значение, соответствующее трехмерным решеткам; таким образом
представляются конформации полимеров в капилляре или в порах.)
(R)N(лента) ~ (N/n)w ~ wl x/vN.
(16)
* Термин "блоб" принят в книге [2]. - Прим. перев.
Графы, модели полимеров, исключенный объем
491
6. МАТРИЦЫ ПЕРЕНОСА
В одном из математически точных подходов [44] к анализу разнообразных
проблем укладки различных графов рассматриваются производящие функции для
этих структур, наиболее подходящим образом ограниченные областью решетки
только с одним направлением бесконечного распространения. Например,
рассмотрим блуждания без самопересечений, ограниченные горизонтальной
лентой шириной w, на плоской квадратной решетке. Любое такое блуждание
может быть обозначено последовательностью состояний столбцов, /-й из
которых связан с /-м столбцом сочленений горизонтальной решетки на ленте.
Такое состояние столбца можно определить, обозначив: а) какие связи в
решетке пересекаются при блуждании и б) какие пары заполненных таким
образом связей в решетке соединяются вместе последовательностью шагов
блуждания, все из которых расположены слева от столбца /. Пример
блуждания без самопересечений по ленте шириной w = 3 иллюстрируется на
рис. 4. Показано также его представление в виде последовательности
состояний столбцов, обозначенных метками ? = а, /3, 7, /3 или а. Числа
/n(f, ?) указывают число шагов, осуществляемых при переходе от состояния
столбца ? к f.
Переход от одного состояния столбца к следующему вниз по ленте является
марковским, т. е. возможные состояния столбцов, следующие за любыми
данными состояниями, не зависят от предшествующих состояний. Например, в
случае с w - 3 за состоянием
РИС. 4. N = 23-шаговое блуждание и его представление с помощью состояний
столбцов.
Каждая метка состояния столбца имеет горизонтальную черту (черты) для
ооозначения того, какие соответствующие звенья решетки связываются
блужданием; две черты, соединенные петлей, показывают, что два шага
связаны путем, полностью лежащим слева от соответствующего столбца.
492
Д. Клейн, В. Зайтц
столбца в /-м столбце могут следовать другие состояния в столбце i + 1,
как указывается соотношением переноса:
а - а, 0, у, а,
/3 - /3, а,
у - а, у, а, (17)
& - а. &¦, а - а, у, /3, а.
Эт(r) наводит на мысль о введении производящих функций п^(г, t), являющихся
полиномами в /1/2 с коэффициентом равным числу блужданий с т шагами слева
от столбца i, когда столбец i находится в состоянии ?. В таком случае
л{(| + 1; О = ? (). (18)
f
Пусть теперь n(i + 1; /) обозначает вектор (столбец), ?-й элемент
которого равен л?(/ + 1; /), и Т, - матрица переноса, (?, С)-й элемент
которой равен 0 или tm^< й, так как состояние ? может следовать за
состоянием f или нет. В этом случае выражение (18) может быть записано в
матричной форме:
л(/ + 1; О = Т,л(/; О = Т|л(1; О- (19)
Для очень длинных цепей максимальное собственное значение \ матрицы
переноса Т, начинает определять (асимптотическое) поведение л(/ + 1; /)•
Показано [44], что величина t, для которой X, = = 1, обратна величине к в
уравнении (1), соответствующей ленте, а производная X, при t = 1/х -
обратная величина предэкспоненци-ального множителя А в выражении (2).
Такой метод матрицы переноса может применяться несколькими путями к
целому ряду теоретико-графовых задач укладки. Поскольку в случае конечных
лент (трубки или стержни) получают конечную матрицу, для которой возможен
расчет на ЭВМ, можно получить "численно точные" результаты для лент с
меньшей шириной (окружности трубки или поперечные сечения стержня). Это
действительно было осуществлено в ряде ситуаций: для блуждарий без
самопересечений [16, 44], для цепей без самопересечений [44], в пер-
коляционной задаче для кластеров [45] *, для "решеточных зверей" [45, 46]
**, для блужданий без самопересечений на решетке со взве-
* Подробнее об этом см в [67*, § 9 10] - Прим. перев
** См также [68*] - Прим. перев.
Графы, модели полимеров, исключенный объем
493
шенными связями [47], для направленных решеточных зверей [48] и для
компактных (или гамильтоновых) цепей [49]. На основании таких
исследований различных структур без самопересечений на лентах разной
ширины w получены доказательства функциональных изменений в зависимости
от w. Например, для блужданий на ленте зависимость In ((R)n/N) от In (w)
приближается, как предполагалось в работе [16], по-видимому, к прямой
линии с угловым коэффициентом, равным -1/3 (тангенс угла наклона между
точками w - 5 и 6 равен -0,334). Комбинируя эти результаты со скейлин-
говыми рассуждениями, такими, как обсужденные в разд. 5, можно оценить
поведение неограниченной решетки.
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 216 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed