Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
р31т
Рис. 8-21 (продолжение 2)
Рис. 8-21 (продолжение 4)
с с с
" С [
"ИМ»
*
1
рктт
С-Е С
и г г
[ииияаяи* аавипния; члените
, ¦., ..дррпщц ¦••_."!Нв°,,,н1!
дщшид^. ,-'е2Расв5Е. '•. .¦4иШвш|Н
РгЙЬ. '-"ЛрТ!*. '¦-¦зр^
стт1
I > 1 1 1 >
Рис. 8-23.
Иллюстрация примитивной и элементарной ячеек плоской решетки по Азарову [22]. © 1960 McGraw-Hill, Inc. Воспроизводится с разрешения.
кроме узла, распределенного по вершинам. Например, трансляционная пара 15 и г6 определяет удвоенную ячейку. Ячейку называют элементарной, если под действием трансляций из нее можно получить целиком всю решетку. Таким образом, элементарная ячейка может быть либо примитивной, либо кратной. Обычно элементарную ячейку выбирают, так, чтобы лучше продемонстрировать симметрию решетки. Трансляции, выбранные за ребра плоской элементарной ячейки, обозначают а и й, а для пространственной решетки-а, Ь и с и называют их кристаллографическими осями. Углы между ребрами трехмерной элементарной ячейки обозначают а, (3, у (в плоской решетке присутствует только у).
На рис. 8-24 показаны три плоские сетки, основанные на одной и той же плоской решетке. В каждой точке этих трех сеток пересекаются две и только две линии. Соответственно параллелограммы всех трех сеток имеют одинаковую площадь. Любой из них является элементарной
Рис. 8-24.
Различные сетки на основе одной и той же плоской решетки.
ячейкой, а на самом деле-примитивной. Каждый из этих параллелограммов определяется двумя сторонами а и Ь и углом у между ними. Их называют параметрами ячейки.
Обычная плоская сетка, показанная на рис. 8-25, а, называется па-раллелограмматической решеткой. Четыре другие сетки, изображенные на рис. 8-25, являются особыми случаями обычной решетки. Прямоугольная решетка (6) имеет элементарную ячейку с неравными сторонами. У так называемой алмазной решетки (в) стороны элементарной ячейки равны. Особый случай алмазной решетки - когда углы между равными сторонами элементарной ячейки составляют 120°, и эта решетка (г) называется ромбической, или треугольной, так как короткая диагональ ячейки делит ее на два равносторонних треугольника. Можно считать, что такая решетка имеет гексагональную симметрию. Наконец, существует квадратная решетка (д).
Выше были описаны пять особых плоских решеток в соответствии с предположением, что сами узлы решетки имеют наиболее высокую возможную симметрию. В этом случае симметрия пяти особых решеток такова (рис. 8-25):
а 6 в г д
Рис. 8-25.
Пять особых плоских решеток (от а до у, см. текст).
Пространственные группы симметрии
Пространственные группы
бескоординатные координатные (или символы международные)
символы
Параллелограмматическая (А/в): 2 р2
решетка (а) ртт2
Прямоугольная решетка (б) (Ь:а):2т
Алмазная решетка (в) (а/а) :2 т стт2
Гексагональная или (а/а) :6т рбтт
тригональная решетка (г) (а:а):4- т р4тт
Квадратная решетка (д)
Комбинируя точечные группы симметрии с плоскими решетками, в целом можно получить 17 двумерных пространственных групп. Все они представлены на рис. 8-21. В действительности на возможные точечные группы, которые можно сочетать с решетками для получения пространственных групп, накладываются строгие ограничения. Некоторые элементы симметрии, подобно поворотной оси пятого порядка, несовместимы с трансляционной симметрией. Эти случаи будут подробно рассмотрены в гл. 9.
8.5.1. Некоторые простые сетки
Простейшая двумерная пространственная группа в четырех вариантах представлена на рис. 8-26. Эта группа не накладывает каких-либо ограничений на параметры а, Ь и у. Эквивалентные мотивы, повторяе-
Рис. 8-26.
Простейшая двумерная пространственная группа в четырех вариантах.
25 1553
['лапа 8
мые трансляциями, могут быть совершенно изолированы один от другого, могут состоять из несвязанных частей, могут пересекать друг друга и, наконец, могут заполнять всю плоскость без пробелов. Конечно, такое разнообразие возможно и для любой из более сложных двумерных пространственных групп. Особенно любопытны такие варианты, в которых вся доступная поверхность покрыта без пробелов. М. Эшер особенно знаменит своими периодическими рисунками, заполняющими всю плоскость. Их симметрийные аспекты детально обсуждены голландским кристаллографом Каролиной Мак-Гиллаври [9]. Рис. 8-27, а заимствован из ее книги. Он характеризуется симметрией р\. Элементарная ячейка содержит комбинацию рыбы и судна (рис. 8-27, б). Мотив другого рисунка (8-28, а) из той же книги [9] составлен из сочетания птицы и рыбы (рис. 8-28,6). Можно выбрать ячейку так, чтобы в ней было по две птицы и рыбы, причем каждая соответствующая пара была бы связана поворотной осью второго порядка. Однако основной мотив (примитивная ячейка) содержит только одну птицу и одну рыбу. Это так называемая асимметричная единица. Элементарная ячейка в этой сетке содержит две асимметричные единицы. Весь узор
а
Рис. 8-27.
а-периодический рисунок Эпюра на основе рыбы и судна с пространственной группой р\, заимствованный из книги Мак-Гиллаври [9]. Воспроизводится с разрешения Международного союза кристаллографов; 6-элементарная ячейка: рыба и судно в качестве повторяющегося мотива.
