Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
Греческие узоры с одномерной пространственной группой симметрии: а-с полярной осью; 6-без полярной оси.
Пространственные группы симметрии
Рис. 8-8.
Бордюры с полярными осями.
-»-1-1-1-•-•-1- 3
с с с с
Ж1Я*1*
7 Рис. 8-9.
Семь классов симметрии бордюров.
366
Глава 8
Рис. 8-10.
Иллюстрация семи классов симметрии бордюров с помощью венгерских вышивок [3]. Нумерация соответствует рис. 8-9. Приведем краткие сведения об этих вышивках.
1. Бордюр Столешницы. Калоча, Южная Венгрия. 2. Бордюр края наволочки. Округ Тольна, Юго-Западная Венгрия. 3. Украшение, пришиваемое на длинный войлочный плащ венгерских пастухов. Округ Бихар, Восточная Венгрия. 4. Вышитая кайма покрывала XVIII в. Отметим отклонение от описываемой симметрии в нижней части узора. 5. Украшение рубашки. Карад, Юго-Западная Венгрия. 6. Декоративный узор наволочки. Тороко (Риметеа), Трансильвания, Румыния. 7. Узор из виноградных листьев. Восточный берег реки Тисы.
Просіраисгнсниыс группы
симме грии
Рис. 8-10 (продолжение)
Глава X
1. Обозначение (а). Единственный элемент симметрии - ось трансляции. Период трансляции-расстояние между двумя идентичными точками последовательных черных треугольников.
2. Обозначение (а) ¦ а. Этот узор характеризуется плоскостью скользящего отражения (а). Черный треугольник совмещается сам с собой после переноса на половину периода трансляции (я/2) и отражения в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа.
3. Обозначение (а): 2. Этот узор содержит трансляцию и поворот на 180°. Поворотная ось второго порядка перпендикулярна плоскости бордюра.
4. Обозначение (а):т. На этом узоре'перенос достигается отражением в поперечных плоскостях симметрии.
5. Обозначение (а) ¦ т. Здесь ось трансляции сочетается с продольной плоскостью симметрии.
6. Обозначение (а) ¦ а: т. Симметрия этого узора может быть охарактеризована комбинацией плоскости скользящего отражения с поперечными зеркальными плоскостями симметрии. Здесь присутствуют также ось трансляции и поворотные двойные оси, перпендикулярные плоскости чертежа. Последние элементы порождены элементами, упомянутыми ранее. Можно было бы дать и такое описание этого класса симметрии: комбинация плоскости скользящего отражения с двойными осями,-и соответствующее этому обозначение было бы (а): 2 ¦ а.
7. Обозначение (а) ¦ т ¦ т. Этот узор имеет самую высокую симметрию, достигаемую за счет комбинации оси трансляции с поперечными и продольными плоскостями симметрии. В этом описании двойные оси перпендикулярны плоскости чертежа и порождены другими элементами симметрии. Альтернативное обозначение - (а): 2 ¦ т.
Семь одномерных классов симметрии бордюров иллюстрируются на рис. 8-10 узорами венгерских вышивальщиц. Этот вид вышивания действительно является «бордюром» и идеально пригоден для этой цели.
8.3. Двусторонние ленты
Если особая плоскость ленты неполярна, то лента двусторонняя. В целом ленты имеют 31 класс симметрии [2], из которых 7 характеризуют только бордюры. Рис. 8-11, а показывает бордюр, порожденный переносом мотива из листьев. Рис. 8-11,6 является двумерной лентой, характеризуемой плоскостью скользящего отражения. Она содержит перенос на половину периода трансляции и отражение в плоскости чертежа. Листовые узоры на рис. 8-11 параллельны узорам из черных треугольников. Новый элемент симметрии иллюстрирует рис. 8-11, <?; это винтовая ось второго порядка, 2,. Соответствующее преобразование представляет собой перенос на половину периода трансляции и поворот на 180°. Все классы симметрии лент (их число равно 31), составляющие
HpiK"i ранстпснные группы симметрии 369
^-^-^
^ ^ ^
в
Рис. 8-11.
а-бордюры, образуемые простым переносом листа и мотива черных треугольников. Плоскость рисунка является особой полярной плоскостью; 6-двусторонние ленты, получаемые из бордюров введением плоскости скользящего отражения. Особая плоскость, лежащая в плоскости рисунка, более не является полярной. Плоскость скользящего отражения, совпадающая с плоскостью рисунка, обозначена ам [2]. Отметим, что две стороны листьев имеют разные цвета (черный и белый); в - двусторонние ленты, образуемые из бордюров введением винтовой оси второго порядка.
одномерные группы, приведены на рис. 8-12 (согласно Шубникову и Копцику [2]). Помимо двух классов, уже проиллюстрированных рис. 8-11,6 и в, дадим обозначения только для 7 особых классов, которые соответствуют бордюрам:
Нумерация (см. рис. 8-12) Бескоординатное обозначение Координатное (международное) обозначение
1 (а) Pi
4 (а) • т р\т\
5 (а) а nial
12 («): 2 pi 12
16 (а):т рт \ 1
18 (а) -а.т рта2
29 (а) ¦ т: т pmml
24 1553
370
Глава 8
1 17
2 18
3 19
4 ш: 20 os
5 21 m
6 ЕЕ 22
7 23
8 IL
g 25
10 26
11 27
12 28
13 29
u 30
15 31
16 оси с г—»-a координат \ь
Рис. 8-12.
31 класс симметрии лент. Две стороны треугольников имеют разные цвета (черный и белый). Две стороны треугольников с точкой имеют одинаковый цвет [2]. Жирный шрифт в нумерации указывает на особые случаи бордюров.
Так называемые координатные или согласованные международные обозначения относятся к взаимной ориентации координатных осей и элементов симметрии [2]. Обозначение всегда начинается с буквы р, относящейся к трансляционной группе. Ось а направлена вдоль цепи, ось Ь лежит в плоскости чертежа и ось с располагается перпендикулярно этой плоскости. Первая, вторая и третья позиции символа после буквы р указывают на взаимную ориентацию элементов симметрии по отношению к координатным осям. Если ни поворотная ось, ни нормаль к плоскости симметрии не совпадают с координатной осью, то в соответствующей позиции символа ставится 1. Совпадение поворотной оси (2 или 2^ или нормали к плоскости симметрии (т или а) с одной из координатных осей указывают, помещая символ этого элемента в соответствующей позиции. Кроме приведенных выше обозначений здесь даны два других, относящихся к двусторонним лентам, показанным на рис. 8-11.
