Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Фларри Р. -> "Квантовая химия. Введение" -> 58

Квантовая химия. Введение - Фларри Р.

Фларри Р. Квантовая химия. Введение — M.: Мир, 1985. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovaya-chimiya.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 167 >> Следующая


б Зак. 187

162

Глава 7

Таблица 7.А2. Таблица сопряженных операций группы S(3)

А-1

А

(1)(2)(3)
(1
2
3)
(1
3
2)
(1)(2 3)
(1 2)(3)
(1 3)(2)

(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
(1
2
3)
(1
3
2)
(1)(2 3)
(1 2)(3)
(1 3)(2)
(1)(2)(3)

(1 3 2)
(1)(2)(3)
(1
2
3)
(1
3
2)
(1 2)(3)
(1 3)(2)
(1)(2 3)
(1 2 3)

(1 2 3)
(1)(2)(3)
(1
2
3)
(1
3
2)
(1 3)(2)
(1)(2 3)
(1 2)(3)
(1 3 2)

(1)(2 3)
(1)(2)(3)
(1
3-
2)
(1
2
3)
(1)(2 3)
(1 3)(2)
(1 2)(3)
(1)(2 3)

(1 2)(3)
(1)(2)(3)
(1
3
2)
(1
2
3)
(1 3)(2)
(1 2)(3)
(1)(2 3)
(1 2)(3)

(1 3)(2)
(1)(2)(3)
(1
3
2)
(1
2
3)
(1 2)(3)
(1)(2 3)
(1 3)(2)
(1 3)(2)

сопряженных операций любой конечной группы позволяет установить структуру ее классов. Нас интересуют в первую очередь два важных обстоятельства, касающиеся классов. Во-первых, для любой группы число классов совпадает с числом неприводимых представлений. Во-вторых, в таблице характеров все операции, принадлежащие одному классу, имеют одинаковые характеры.

Для симметрических групп существует более простой способ установления структуры классов. Оказывается, что все операции, имеющие одинаковую структуру циклов, принадлежат к общему классу; речь идет об операциях с совпадающим числом циклов одинаковой длины. Так, в группе S (3) имеется одна операция с тремя циклами: (1) (2) (3), две операции с одним циклом: (12 3) и (13 2), а также три операции с двумя циклами длиной 2 и 1: (1) (2 3), (1 2) (3) и (1 3) (2). Классы симметрической группы часто индексируют распределениями, указывающими число циклов каждой длины. Длину цикла указывают соответствующим числом, а число циклов данной длины — верхним индексом справа. Так, тождественное преобразование в группе S(3) символически записывается в виде (I3), класс из двух трехчленных циклов — в виде (3), а третий — как (2, 1). В таблице характеров перед символом каждого класса указывают числом, сколько операций входит в данный класс.

Вернемся снова к таблице умножения группы S (3) (см. табл. 7.Al). Из рассмотрения ее нижнего правого угла видно, что операции с длиной цикла 3 можно получить как произведение двух операций, которые представляют собой просто перестановки двух объектов. Например:

(1 2)(3) X (1)(2 3) = (1 2 3) (7.А5)

Операция (1 2)(3) приводит к перестановке объектов 1 и 2, а операция (1)(2 3)—к перестановке объектов 2 и 3. Э/to правило имеет общий характер. Цикл порядка п всегда можно

Электронное строение многоэлектронных атомов

163

представить в виде произведения, включающего перестановки порядка г.— 1. Это приводит к понятию о четных и нечетных классах, -. е. таких классах, которые можно разложить на четное или нечетное число перестановок. Возвращаясь к классам в таблице характеров (см. табл. 7.2), мы видим, что для группы S (2) класс (I2) содержит нуль (четное число) перестановок, а класс (2)—одну (нечетное число) перестановку. Следовательно, классы э"ой группы оказываются четными или нечетными. В группе S(3) класс (I3) имеет только циклы порядка 1, а значит, в этол классе не содержится перестановок, и он является четным классом; класс (2, 1) имеет один цикл порядка 2, или одну перестановку, и является нечетным, класс (3) — один цикл порядка 3 который можно разложить на две перестановки, поэтому он относится к четному классу. В группе S (4) имеются четные классы (I4), (22) и (3, 1) и нечетные классы (2, I2) и (4).

Рассмогрение таблиц характеров (см. табл. 7.2) показывает, что каждая симметрическая группа имет два и только два одномерных неприводимых представления. У одного из них все характеры равны +1, и оно является полносимметричным, неприводимым представлением. Другое имеет характеры +1 для четных классов и —1 для нечетных классов и является полностью антисимметричным представлением. Одномерные полно-симметричаые представления содержатся во всех группах, а полностью антисимметричные — во всех симметрических группах (но не во зсех остальных группах). Другие представления обладают смешанными свойствами относительно перестановок. Перестановочная симметрия функции, антисимметричной по отношению к герестановке частиц, определяется полностью антисимметричным неприводимым представлением.

Рассмотрим теперь произведение какого-либо представления с сопряженным ему представлением. В качестве примера возьмем представления группы S (5). Для этой группы имеем

(I4) 6(2, 1*) 3(22) 8(3,J) 6(4)

[4] X [I4]: 1x1 lx(-l) 1.Xl 1x1 1 X (-1)

1-11 1 -J

W X [14J = [і4] (7.А6)

[3,1] X [2 Is]: 3x3 (-l)xl (-i)x(-l) OxO 1 х (-1)

9-11 0 -1

[3,1] X [:, 1г] = [I4] + [2г] + [3,1] + [2,12] (7.A 7)

[2і] X [22': 2x2 OxO 2x2 (-1) х (—I) OxO

4 0 4 1 0

РЧ X ОТ = [I4] + M + [2і] UAe)

s*

І64

Глава 7

(Результаты перемножения представлений можяо проверить, суммируя указанные неприводимые представления.) Мы видим, что произведение какого-либо неприводимого"представ-ления и сопряженного ему представления всегда содержит полностью антисимметричное неприводимое представление. Это правило выполняется для всех симметрических групп. [Равенство (7.А8) также иллюстрирует тот факт, что прэизведение двух одинаковых неприводимых представлений содеркит полносимметричное неприводимое представление. Это правило выполняется для всех групп любого типа.]
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed