Квантовая химия. Введение - Фларри Р.
Скачать (прямая ссылка):
136
Глава 7
7.4. Симметрическая группа
Чтобы получить возможность определять разрешенные принципом Паули состояния для более общих систем, необходимо воспользоваться свойствами группы перестановочной симметрии (или, на языке математики, симметрической группы). Симметрической группой S(N) степени называется группа, операциями которой являются все возможные перестановки N объектов. Например, при наличии двух объектов их можно произвольно обозначить символами 1 -и 2. В таком случае группа перестановок S (2) состоит из тождественного преобразования (которое всегда обозначается символом E) и операции, приводящей к перестановке объектов. Схематически эти операции можно записать так:
{1 2} Д {1 2}
і {2 1} (7.3)
Рассматриваемая группа состоит всего из двух операций (или двух элементов) и поэтому ей приписывается порядок 2. При наличии трех объектов можно записать
E —*
(1
2
3}
Р,
—+
{3
1
2}
P2 —*
{2
3
1}
—>
{1
3
2}
Px
—>
{2
1
3}
Ps
(3
2
1}
Следовательно, группа S(3) имеет порядок 6, группа S (4) — порядок 24. В общем случае группа S(W) имеет порядок Nl
(Укажем, что Л/! = 1 X 2 X ••• X(N- I)X^ = IK-W-) Симметрическая группа включает ограниченное число операций и этим отличается от групп вращений, которые имеют бесчисленное множество бесконечно мало различающихся операций. Поэтому таблица характеров симметрической группы содержит конечное число записей.
В таблице характеров симметрической группы, как и любой другой группы, строки обозначаются символами неприводимых представлений, а столбцы — символами элементов группы (операций перестановок). Для всех групп S(N), в которых N превышает 2, многие перестановки имеют одинаковый характер в каждом представлении. Эти характеры и соответствующие
Электронное строение многоэлектронных атомов
137
перестановки группируются вместе, образуя классы. Именно символы классов и нумеруют столбцы таблицы. Для классов и для неприводимых представлений групп S (JV) используются одинаковые символы. Они указывают число способов, которыми N можно разложить на целые числа. Например, если N равно 4, возможные разложения таковы: (4), (З, 1), (2, 2), (2, 1, 1) или (1, 1, 1, 1). Эти разложения можно сокращенно записать как (4), (3, 1), (22), (2, I2) и (I4). Числа, являющиеся элементами разложения, называются длинами циклов. Классы групп перестановок обозначаются соответствующими разложениями, которые заключены в круглые скобки, а представления— такими же разложениями, но в квадратных скобках. В таблице характеров число перестановок в каждом классе указывается вместе с его символом. Символ обозначений, в которых используются указанные разложения, поясняется в приложении к данной главе. .
В табл. 7.2 приведены таблицы характеров для групп S (2), S(3) и S (4). Таблицы характеров для следующих групп перестановок, вплоть до S (7), помещены в приложении 7. Фигурки из квадратиков, изображенные в левой части таблиц характеров в табл. 7.2, являются диаграммами Юнга для соответствующих представлений. Нетрудно видеть, что они состоят из строк, число квадратиков в которых соответствует структуре определенного разложения. Каждая строка диаграммы отвечает определенной длине цикла, и для каждого цикла имеется своя строка. Эти строки располагаются в порядке убывания числа квадратиков и выравниваются по левому краю.
Диаграммы Юнга удобно использовать для определения взаимосвязей между представлениями групп. Обратим внимание на то, что в каждой группе S(N) каждой диаграмме Юнга можно сопоставить другую диаграмму, которая образуется из первой путем перестановки ее столбцов со строками, если только такая перестановка не оставляет диаграмму без изменения. Представления с такой взаимосвязью между их диаграммами Юнга называются сопряженными друг другу. Так, в группе S(4) представления [4] и [I4] образуют сопряженную пару, то же самое можно сказать о представлениях [3, 1] и. [2, I2]. Представление [22] называется самосопряженным. Понятие о сопряженных представлениях важно для построения разрешенных принципом Паули состояний многоэлектронных систем. Представление [\N\ является полностью антисимметричным представлением группы S(N). Оказывается, что единственный вариант, приводящий к появлению полностью антисимметричного представления в произведении представлений, возникает при умножении представления на сопряженное ему представление.
138
Глава 7
Таблица 7.2. Таблицы характеров для групп S (2), S(3) и S (4)
Д.ГО.
Д.Ю.
?
Д.Ю.
S(2)
(і3)
(2)
I I I
га
і
1
В
і
-1
S(3) |13) 3(2,1) 2(3)
W
[2,1]
[15J S(4)
[3,1]
[і4]
(I4) 6(2,1.2) 3(2г) 8(3,1) 6(4) 11111 3-1-1 0 1
-1
1 -1
о
-1
-1
Д. Ю. — диаграммы Юнга.
7.6. Состояния, разрешенные принципом Паули
Наиболее общая формулировка принципа Паули основана на том факте, что физической реальностью обладают только одномерные перестановочные состояния. Симметрическая группа
Электронное строение многоэлектронных атомов
