Квантовая химия. Введение - Фларри Р.
Скачать (прямая ссылка):
26
Глава 1
1.2*. Покажите, что закон Планка в пределе низких частот сводится к закону Рэлея — Джинса, а в пределе высоких частот — к закону Вина. (Указание. Воспользуйтесь разложением в ряд экспоненциального члена при низких частотах.)
1.3*. Вычислите кинетическую энергию и дебройлеву длину волны для каждого из следующих случаев:
а) Пуля массой 10 г, движущаяся со скоростью 500 м/с.
б) Черепаха массой 1 кг, движущаяся со скоростью 1 см/с.
в) Человек массой 90 кг, движущийся со скоростью 2 м/с.
г) Самолет массой 5000 кг, движущийся со скоростью 100 м/с.
д) Земля при движении вокруг Солнца.
е) Электрон, движущийся со скоростью 7-Ю8 см/с (это соответствует -скорости теплового движения при 325 К).
ж) Электрон, движущийся со скоростью 2•1O10 см/с (это приблизительно соответствует скорости электрона на боровской орбите при я = 1 в атоме цинка).
з) Нейтрон, движущийся со скоростью 1•1O7 см/с. і 1.4*. Определите скорости электрона на боровских орбитах при п = 1, 2 и 3
в ноне He+.
1.5*. Спектры и потенциалы ионизации (ПИ) атомов щелочных металлов (элементов группы IA в периодической системе) удается довольно хорошо аппроксимировать в рамках теории Бора, если заменить п «эффективным квантовым числом» п' = (п—d), где d — так называемый квантовый дефект. Исходя из значения первого потенциала ионизации, вычислите квантовый дефект для res-электрона и энергию перехода («+I)S-WiS в атомах Li (я = 2: ПИ = 5,363 эВ) и Na (я = 3; ПИ = 5,137 эВ). Используйте для постоянной Ридберга значение, соответствующее атому водорода (т. е. предположите, что электроны внутренних оболочек полностью экранируют ядро). (Экспериментальное значение для энергии указанного перехода в атоме Na составляет 25 730 см-1.)
1.6. Еще одна теоретическая модель для описания спектров и потенциалов ионизации атомов щелочных металлов основывается на предположении, что единственный валентный «s-электрон в этих атомах находится на водородо-подобпой орбите вокруг «экранированного ядра (т. е. ядра, заряд которого изменен внутренними электронами) с эффективным зарядом Z— s, где s — «постоянная экранирования». Исходя из потенциала ионизации «s-электрона, вычислите постоянную экранирования и энергию перехода (ra+l)s-<—ras в атомах Li и Na.
1.7*. а) Используя уравнение (1.46), соотношение де Бройля (1.38) и тот факт, что полная энергия представляет собой сумму кинетической (T) и потенциальной (V) энергий, выразите одномерную зависящую от времени волновую функцию через энергию.
б) Как должна вести себя такая волновая функция, если частица движется в поле с постоянным ограниченным потенциалом, который имеет большее значение, чем Е?
в) Опишите качественно, чтб должно произойти, если частица, движущаяся в направлении положительной оси х, встретит на своем пути потенциальный барьер V ограниченной величины (V > E) и ограниченной толщины? Как отличается результат ее поведения в таком случае от того, что следовало ожидать с точки зрения классической механики?
1.8*. а) Исходя из уравнения (4.9), выведите соотношение неопределенности для положения и импульса частицы.
б) Найдите для каждого из указанных ниже случаев неопределенность импульса, учитывая заданную точность определения положения: 1) человек массой 90 кг, движущийся со скоростью 2 м/с (Ax — 1 мм); 2) электрон, движущийся со скоростью 2-Ю8 м/с (A-V = 1 А).
Глава 2
ПОСТОЯННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ
2.1. Введение
Обратимся к уравнению (1.57), которое представляет собой не зависящее от времени уравнение Шредингера, описывающее движение отдельной частицы в одном измерении. Оно является дифференциальным уравнением второго порядка в одной переменной. Его решение, как энергия, так и волновая функция, очевидно, должно зависеть от функциональной формы потенциала V. Для некоторых форм потенциала удается найти точные решения в замкнутом, аналитическом виде. Для других форм потенциала это уравнение приходится решать численными методами.
Общее решение задачи о движении частицы должно быть трехмерным, т. е. зависеть от переменных х, у и z (или от других переменных в какой-либо трехмерной системе координат). Соответствующее уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в трех переменных. Для описания системы из N частиц требуется по три координаты для каждой частицы, т. е. всего SN переменных. Следовательно, общее уравнение Шредингера для системы из N частиц является дифференциальным уравнением второго порядка в SN переменных. Далее, если между частицами имеется взаимодействие, эти переменные оказываются связанными друг с другом, так как движение каждой частицы влияет на остальные частицы. Таким образом, задача очень быстро усложняется.
Только для очень небольшого числа задач удается получить точное квантовомеханическое решение в замкнутой, аналитической форме. В принципе для любой другой системы задача должна решаться прямыми численными методами, однако на практике большинство квантовомеханических задач решается с использованием приближенных методов. Данная книга посвящена главным образом описанию именно таких методов. Однако в настоящей главе читатель познакомится с решениями задачи о движении частицы в поле с постоянным потенциалом и задачи о движении частицы в потенциальной яме. В трех следующих главах мы познакомимся с аналогичными решениями для трех других задач.
