Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
?.Д*) = ±2(^-)'''' для к<±
К (k) = ± (З)''(ц - If (ЗА - 2д -\) для k > I
Первая из этих формул описывает границу области существования трех стационарных состояний при 0 < к < р независимо от того, устойчивы они или нет. Координаты точки пересечения Р: 1 = 0, к = (2ц+ 1Д)/3.
Была определена природа бифуркаций па этих кривых. Читатель, не знакомый с элементарной теорией бифуркаций, может обратиться к монографии [695] н использовать простые схемы бнфуракшш Хопфа, приведенные на рис. 7.11. Видно, что при 0<*<1/т переход от моностабнльиостп к бпстабильностн представляет собой бифуркацию седло — узел, происходящую точно при X = Хс, При 1/т < к < 2 д — 1Д этот переход представляет собой субкрптнческую бифуркацию Хопфа. Устойчивое решение претерпевает бпфуракцпю на линии перехода X = Хс(к) в неустойчивый предельный цикл, который в свою очередь исчезает на штриховой кривой. Амплитуда колебаний стремится к нулю на линии перехода. Этот неустойчивый предельный цикл исчезает в интервале 1Д < к < (2р + |/т)/3, сливаясь с сепаратрисой, и определяет в заштрихованной области область притяжения вновь появившегося устойчивого стационарного состояния схема 1, рис. 7.11). В интервале (2ц + 1/т)/3 < к < CrVnI _7,/т) ,Іе>'СТ0ІІ'ШВЬІ" никл исчезает путем слияния с вазвтГ "1>едсльмым и""™*., соответствующим полностью развитым релаксационным колебаниям (схема 2 рнс 7 11). Та-
Oi бистабильносіи к автоколебаниям
ким образом, колебания появляются на штриховой линии при A=A0 перед точкой Я=ЯС, как можно было ожидать из простого
Неустойч. х —
р'н-. 7.11. Диаграммы бифуркаций .Хоифз н соответствующие фазовые портреты.
Глава 7. П. Де Кеппер. Ж. БуиссонаЭ 206___________-—1---'——
Рис. 7.12. Трехмерное (ц, k, X) представление крестообразной параметрической диаграммы, приведенной на рис. 7.10, при т = 1 и ц = І.
¦пшенного подхода. В промежуточной области (заштрихованной), которую можно назвать субкрптической, система имеет как стационарное состояние, так и колебания. Здесь колебания возникают при lc(k) жестко —с конечной амплитудой.
При *>(2u—IA) переход представляет собой надкритическую бифуркацию Хопфа (схема 3, рнс. 7.11), имеющую место при I = К-(k).Устойчивое состояние переходит в квазпгурмони-ческое колебательное состояние с амплитудой, пропорциональной (1? — Хс\)'". Обратная связь при этих больших значениях k настолько сильна, что система испытывает колебания, не достигая квазнстацпонарной нуль-нзоклииы. Это мягкий переход в отличие от только что рассмотренного жесткого.
В дважды заштрихованной области, расположенной вблизи точки Я, в некоторых небольших областях наблюдаются сложные фазовые портреты. Любопытно, что некоторые из них соответствуют сразу двум устойчивым стационарным состояниям и устойчивому предельному циклу релаксационных колебаний. Детали можно посмотреть в оригинальной работе.
Условие (7.G) становится все более трудиовыполипмым при приближении 1/4 к р. Поэтому колебательная область сужается и полностью исчезает при ц, = р. = 1Д. Это иллюстрируется трехмерной параметрической диаграммой (k, р, X) на рис. 7.12.
7.3.2. Обсуждение и дополнительные свойства
Как мы увидим в разд. 7.4, рассмотренный подход, хотя он является упрощенным и требует использования ряда сильных допущений, оказывается при использовании параметрических диаграмм более обшнм, чем это можно было ожидать, п приводит к некоторым плодотворным приложениям. Параметрические диаграммы всех~хорошо исследованных колебательных химических реакций [165] имеют крестообразную топологию при правильном выборе управляемых параметров. Фактически многие новые колебательные реакции были открыты на основе такого подхода 1см. разд. 7.4.3 и гл. 8). Более того, субкрптпчеекпе области.
Моностэбильность 2 Колебания
Рис. 713. Схематическое изображение двойной крестообразной параметрической диаграммы.
связанные с субкритической бифуркацией Хопфа, наблюдались экспериментально и были соответственно идентифицированы [95, 199, 215, 632, 737]. Не всегда возможно выделить два различных набора переменных, веществ или уравнений, определяющих би-стабильную систему и систему с обратной связью. Но даже в таком случае большинство выводов, которые можно сделать из рассмотрения топологических особенностей крестообразной параметрической диаграммы, сохраняется.
Мы рассмотрим здесь кратко несколько обобщающих моментов, чтобы лучше понять топологии, наиболее часто встречающиеся на практике. Так как функции C1[D), ограничивающие области устойчивости, не всегда являются монотонными, то уравнение (7.7) может иметь несколько различных решений, т. е; несколько точек пересечения P может существовать в данной области параметров. На рис. 7.13 приведен пример, в котором бистабильность возникает вновь при больших величинах D. Эта ситуация легко наблюдается как в эксперименте, так и в моделях (см. разд. 7.4.1). Однако условие (7.6) редко выполняется в реальной системе во всей области параметров. Поэтому область колебаний обычно замкнута и конечна. Например, модель из подразд. 7.3.2.1 может быть модифицирована таким образом, что т будет зависеть линейно от параметра k в соответствии с
