Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Вторая должна представлять собой процесс с обратной связью є(Xi), зависящей от мгновенного состояния системы II действующей на первую подсистему таким же образом, как параметр С, так что первая подсистема как бы контролируется эффективным управляющим параметром Cef = С — s(Xi). Кроме того, действие этой обратной связи происходит на временной шкале тп- (для X ~ X,,), так что имеет место соотношение
rrt > rsl (7.6)
В соответствии с этим последним условием система медленно движется вдоль ветви і, пока она не достигнет устойчивого стационарного состояния или точки C1-, где происходит переход на другую ветвь. Отметим, однако, что в этой точке условие (7.6) больше не выполняется, так как xSi(Xi)-+-\- 00 • S-образная кривая на рис. 7.8 играет такую же роль, как поверхность медленных движений в разд. 7.2.1. Если бесконечность неустойчива и система не может достичь устойчивого стационарного состояния ни на одной из ветвей, то должны происходить релаксационные колебания с периодическим переключением системы с одной Ветви на другую. Устойчивое стационарное состояние имеется на
MWDa7'8,; Ти"ич"ая диагра етРа, при C1 < с < C2 н
мма зависнмост z наблюдается бистабильность.
„ отклика от управляющего пара-
Глава 7. П. Де Кеппер, Ж. Буассонад
ветви / только если фиксированная точка Cof = С-е(X1-(C1.,)) Пма находится на ветви /. Это зависит от положения реального управляющего параметра С по отношению к предслыю» величине С;, определяемой как C1 = C1 +(X1(C1)) [94, 95].
Таблица 7.2. Стационарные состояния как функция С,
При C1 < С,
С
Ветвь ^^^.
8 с
; с
2 + 00
1
Неустойчивая
Устойчивая
Устойчивая
2
Устойчивая
Устойчивая
Неустопчипая
Результат
ВЙ-устончийос J Бистабильность I
Sl -устоичивое
При с'2 < С[ Ветвь
D с
!
Неустойчивая
Неустойчивая
Устойчивая
2
Устойчивая
Неустойчивая
Неустойчивая
Результат
В2-устойчнвое
Релаксационные колебания
/ЇІ-устоіічивое
Табл. 7.2 суммирует результаты этого обсуждения. Для каждой возможной величины С определено, существует ли стационарное состояние, принадлежащее какой-либо одной ветвн или обеим ветвям. Например, ДІ-устопчпное означает, что существует устойчивое стационарное состояние, принадлежащее ветви I. Но C1 обычно зависит также от второго управляющего параметра, так что они могут быть выражены как функции D, C1(D) и C1(D).
Эти функции определяют в фазовом пространстве (D, С) две кривые, которые являются пределами устойчивости C = C1 и разделяют это пространство па области моностабильности, би-
От бистабильности к аптоколебаниям
Граммы"' С"СМаП"'ССКОС "Заражение крестообразной параметрической диа-
стабильности и колебаний. Эти кривые обычно пересекаются в точке Р, где имеет место равенство
С\ (D) = C2(D) (7.7)
Области бистабильности и колебаний исчезают в этой точке. Таким образом, параметрическая диаграмма является крестообразной, как видно нз рнс. 7.9. Существование такой характерной топологии занимает центральное место в нашем анализе.
7.3.1.2. Природа бифуркаций. До сих пор мы пренебрегали двумя более пли менее связанными существенными проблемами. Первая состоит в том, что устойчивость стационарного состояния была выведена нз линейного анализа устойчивости, ограниченного малыми возмущениями, а вторая — в том, что условие (7.6) нарушается, когда эффективный управляющий параметр С</ приближается к С. Поэтому наши выводы были проверены на простой, формальной модели двух переменных, которая имеет нужные динамические свойства. Ее свойства были подробно исследованы в работах [94, 95]. Здесь приведены лишь наиболее важные результаты.
Модель представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений:
tlx .... і 1\ _ и мі (7.8)
di
JJJL dt
= — (.V3 — p.v + а) — ку,
р>0 т > О
(7.9)
В подсистеме, описываемой уравпенпем (7.8), существует бнетабилыюсть при k = 0, если Я, < Я < A2 при A2 м = (2/S)(P73)VZ3Ta модель была подробно исследована в ра боте [699]. Время релаксации т, порядка I/u (^адь^ f, ветви симметричны по отношению к замене А на л, л опущен). Член обратной связи (-ку) имеет тот же порядок, что
Глава 7. П. Де Кеппер, Ж. 1>цасеыш 264 _____-¦-——---—
,, управляющий параметр I. а линейно зависит от второго пара-UPTiVi * Jh уравнения (7.9) .характерное время его эволюции еостав'ніет 'очевидно, Tr ~ т. Чтобы проверит,, влияние условия 7Cl '„с би,10 нреи-южено никакой априорной гипотезы но но-вочУ относительных величин т, її т.. Однако было найдено, что пш" 1/г>н (т с Tr < т.) в системе имеется либо одно, либо тв-1 устойчивых стационарных состояния и нет колебаний. Ограничимся теперь случаем і/т < ц ("ли т. < Тг). Устойчивость по отношению к бесконечно малым возмущениям может быть определил чииеаризацпей с последующим анализом нормальных коїсбапий Природа бифуркаций была определена методом Пуанкаре — Лпистеда [33,853]. Дополнительная информация о фазовом портрете была получена из подробного численного исследования. Слегка упрощенная параметрическая диаграмма (* X), соответствующая диаграмме (D, С), рассмотренной ранее в разд. 7.3.1, приведена на рис. 7.10. Как п ожидалось, границы областей линейной устойчивости Х = Хс(к) образуют крестообразную диаграмму, определяемую уравнениями
