Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
До настоящего времени численное моделирование химических воли ограничивалось простыми одномерными задачами и применялось довольно мало. Гораздо более интересные явления происходят в дву- н трехмерных системах, где химия, будучи связана с процессами переноса, приводит к образованию сложных спиральных и концентрических структур [312, 905]. Происхождение этих явлений было объяснено на качественном уровне, но не было ни одной попытки применить численный подход. Численные методы, которые можно использовать для этой проблемы, находятся пока в процессе эволюции; двумерные схемы уже находятся в пределах возможного, в то время как трехмерные задачи с числом переменных, большим чем 2—3, все еще слишком сложны, чтобы с ними можно было реально иметь дело. Фундаментальная проблема оказывается общей как для статических, так и для зависящих от времени уравнений в частных производных н связана с трудностями нахождения подходящего функционального представления дву- и трехмерного пространственного решения. Даже для одного уравнения пли системы небольшого числа уравнений возникает неопределенность в отношении сходимости такого представления к истинному решению с вытекающей нз этого задачей оценки ошибок. Для систем с большим числом переменных дополнительные трудности связаны с размером н структурой якобиана. Они оказываются еще более серьезными, чем для матрицы с простой ленточной структур0"'
------"-'¦--____231
которая получается и одномерном случае Как МР, мерпмо возрастают объем матрицы и время, n^lTlTT шения задачи линейной алгебры. Конечно ш,„,,„ А я pt~ об,цениые методы операций с разреж'ГмГм^нц'аГZ1 „е могут дать той эффективности, которую обещает сгРу'ктуп„ое упрощение матриц. Для упрощения матричной структуры сейчас нспытываются методы расщепления: хотя получающийся яко бпан может быть неточным, это может оказаться !остаточным для итерационного решения уравнений корректора Д1я упоо щеиия проблем, связанных с хранением матриц н решением'мат рнчпых уравнений, оказались успешными миогосеточные методы особенно для нерегулярной геометрии, но оии еще ботее мед' леппы и громоздки [590]. На масштаб деятельности в этом направлении, развернувшейся в последнее время, указывает объемистая новая литература, однако пока нет нн'одного пакета общего назначения, применимого к этим задачам [643].
6.2.2. Адаптивные сеточные схемы
Нет причин, но которым сведение задачи уравнений в частных производных к ОДУ должно ограничиваться пространственно однородным разбиением, обсуждавшимся выше. Более точное представление пространственной зависимости можно получить, используя мелкую сетку в областях с большой кривизной и растянутую — в других. Кроме того, если форма пространственного профиля меняется во времени, то может оказаться желательным изменять также распределение ячеек. Это особенно важно при имитации бегущих химических волн, так как можно ожидать, что волновые фронты будут иметь крутые пространственные градиенты, которые могут не только менять форму во времени, но h распространяться по среде со скоростью, которая сама зависит от времени. Для наибольшей экономии было бы выгодно поддерживать максимальную плотность точекразбпе-пня в местах с максимальным градиентом. Один из путей реализации этой идеи —установить фиксированную градуированную сетку її перейти в движущуюся систему отсчета (лагранжевы координаты) так, чтобы фронт оставался стационарным. Для газофазных систем указанное преобразование осложняется необходимостью учета сжимаемости среды, но в ^ко9^"^"'' стемах этим можно пренебречь [331]. Чтобы система W»HaT размещалась надлежащим образом, необходимо все время из плекать нз решения скорость волны. Однако существенные вы числительные преимущества могут быть получены, даже если размещение ячеек не всегда оптимально „п„„х,,-піегтв.і
Можно было бы надеяться на еше болыш.с up i.mjiHст , если бы разбиение могло постоянно ,чм.спосаолпват^я для на. лучшего представлення решения. Сооощалось о многих таких
Глава 6. Д, Эдельспк г о ----' ¦ ' "5щ
схемах: от случайных измерении градиента п рсдпскрстизч, задачи orf /юс до поддержания оптимального разбиения посп'"' ством непрерывной оценки ошибки. Полностью автоматичсск программа, которая это делает, основана на методе движут,3" ся конечных элементов [363, 656], в котором проблема мшит* зации ошибки по отношению к смещению сетки в кусочпо-пот!' номиальном представлении пространственной функции решается совместно с УЧП. Эти идеи были распространены на дву. ! трехмерные задачи с использованием изощренных схем для локализации разрывов и оптимизации сеточного разбиения [3731 Они хорошо работают для некоторого класса задач, но во многих других случаях проявляют определенные патологии. Минимизация может сходиться очень медленно, она может находить ложный локальный минимум или встретиться со столь малой чувствительностью ошибки к размещению сетки, что будет искать минимум до бесконечности. Когда имеется крутой пространственный градиент, точки разбиения стремятся слиться, и становится невозможным точно вычислить градиент. Хотя эти методы находят широкое применение в задачах, где локализация градиентов или разрывов играет важную роль, они вряд ли могут существенно помочь прн моделировании .химических воли, так как для воли в области перепадов требуются также и точные детали.
