Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
/те индексы относятся к і-й точке дискретного представления .„смени) ведут себя почти так же, как н внешние силы, действующие на сервомеханизм и стремящиеся отклонить состояние системы в момент U+i от истинного решения. Это может привести к возникновению больших сил, возвращающих систему в стационарное состояние. Поэтому явная разностная схема (6.2) должна использовать малые шаги по времени, чтобы поддерживать ошибку ограниченной, даже если система в целом изменяется очень медленно.
Эти трудности, которые возникают в программах общего назначения для решения систем ОДУ, сформулированных в соответствии со схемой (6.2), впервые были объяснены в работе [193]. Далквнст [195] показал, что для преодоления ограничений жесткости необходимо неявное представление разностного уравнения
0Z+1I'' = fM (6.3)
Программы, основанные на таком представлении, сейчас широко используются для имитации систем химических реакций, а соответствующие методы называются «неявными» пли «жестко-устойчивыми». В то время как решение явного уравнения (6.2) очевидно, уравнение (6.3) обычно решается с помощью итерационной процедуры ньютоновского типа, которая требует вычисления якобиана системы и последующего решения системы алгебраических уравнений на каждом шаге [354]. Хотя такой способ требует значительно больше вычислений, чем явный метод, это с лихвой компенсирует расходы, так как величина шага, который теперь не ограничивается самыми быстрыми переменными, а может соответствовать поведению системы в целом, увеличивается на несколько порядков. Обзор большого числа схем для реализации неявного метода дается в работе [989].
Автоматические программы решений ОДУ оценивают ошибку решения и ограничивают размер шага, поддерживая ошибку в задаваемых пользователем пределах (другими словами, величина шага должна быть ограниченной так, чтобы при переходе от шага к шагу ошибка не накапливалась). Для таких программ колебательные реакции оказываются особенно тяжелым испытанием, поскольку в них чередуются периоды быстрых изменений її почти полного покоя, что требует частых изменений шага на несколько порядков величины. Рис. 6.1 иллюстрирует типичное поведение решений в модели реакции Белоусова — Жаботинского, а также показывает, как в ходе решения меняются шаг интегрирования н жесткость системы. Чтобы проследить начальный переходный процесс, в ходе которого быстро меняется жесткость, интегрирование должно начинаться с очень малым ша-
" о
S -7 -8
V^^^^ і ! -1--
i I I i I
і -1-—г--
ь
m
П
Г
і-і-
\
г
: 1/
I
0,001 0,01 0,1
100 Время
Жаботинского с помощью си-
Рис. 6.1, Моделирование реакции Белоусова-сте.мы ОДУ.
Поведение подпрограммы решения жестких ОДУ можно проследить но изменению шага Uo времени. Показана также жесткость системы (т. е. отношение максимального и минимального собственных значении якобиана). Следует отметить монотонное увеличение раз-мера шага н начальном периоде, несмотря на Чрезвычайную жесткость в этой области. Когда начинаются колебания, илчичнна шага ограничивается требованиями точности, а не устойчивости.
гом *. Когда этот период пройден, жесткость становится относительно постоянной, но величина шага продолжает периодически изменяться. Результаты, приведенные на рис. 6.І, были получены с помощью одной из первых версий программы Гира [354], н нужно радоваться тому, насколько хорошо монитор величины шага в этой программе может справляться с особо сложной тестовой задачей, в которой он попеременно контролируется и
* Поскольку чанный метод жестко-устопчнв, жесткость системы практики не отражается на величине шага. Необходимость же ПР*"»™»™"™ » начале нпте.рироиаиия вызвана тем, что используемый метод - многоточеч 1ШІІ. — Прим. перси.
поведением системы, її ее устойчивостью. Более поздние веРс.„, MC ¦года Гпра еще улучшили эту процедуру. Одна нз них, EPISODE
[143] была разработана специально для увеличения эффт,щ. пости процедуры повторяющихся изменении величины шага. Об-зор таких программ, которые уже отлажены н доступны, сделан в работе [144]. Напротив, программа, реализующая нежесткий метод (метод прогноза-коррекции Адамса), при тех же ограни-чениях па ошибку не смогла бы сделать величину шага большей чем 10^5 даже па поздней стадии этой задачи, когда жесткость весьма умеренная.
6.1.2. ОДУ с алгебраическими ограничениями
В моделях колебательных реакции частот требуется (нлп, возможно, только желательно из соображений экономии) считать концентрации некоторых соединений (например, воды или H+) постоянными, хотя они входят в выражения для правых частей п, согласно механизму, не являются истинно сохраняющимися. Простейший способ состоит в том, чтобы переписать дифференциальные уравнения, исключив указанные переменные. Однако могут существовать причины, препятствующие осуществлению этой возможности. Такими причинами могут быть, например, желание следить за потоком этих соединений, который не учитывался бы при использовании описанного способа, или желание использовать интерпретирующую программу, являющуюся частью программного имитационного обеспечения, в которой такая процедура не предусматривается [250]. Кажется соблазнительным достигнуть этой цели, останавливая счет на каждом шаге (или через каждые несколько шагов) и переопределяя желаемую переменную. Такая процедура между тем вносит полную дезорганизацию в работу многих программ, основанных на оперировании с непрерывными функциями. Гир [355] показал, что действенный путь преодоления указанной трудности состоит в преобразовании алгебраического ограничения п дополнительное дифференциальное уравнение, которое включается в систему ОДУ. Чтобы поддерживать соответствующие переменные неизменными (обычно в пределах приемлемой ошибки), может использоваться достаточно большой возвращающий член. Хотя этот искусственный прием и может увеличить жесткость задачи, он потребует незначительной дополнительной работы подходящей программы для решения жестких ОДУ.
