Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
- ft — о/О к
Так как градиент па параболической траектории максимален при сх = (1/2) с", и / (C1) = —Vc1, то он равен с',. max = —f [(1/2) с',']/ Л> = — (1/4) fee". Параметр fe, очевидно, определяет крутизну волнового фронта, которая растет пропорционально квадрату начальной концентрации нодата.
11.4. Фронты с большими скоростями
Хотя частное аналитическое решение уравнения (11.24), определяемое выражением (11.29), хорошо согласуется с экспериментом, оно не единственно. Для этой системы существуют решения со скоростями распространения, большими или равными некоторой минимальной скорости [534]. В разд. 11.7 показано, что для аналитического решения уравнения (11.29) эта минимальная скорость определяется уравнением (11,30).
Аронсон [27] определяет минимальную скорость волны v„na как «асимптотическую скорость распространения возмущения «.> состояния покоя»; другими словами, монотонные начальные
условия с резким перепадом, такие, как ступенчатая функция концентрации, будут превращаться в кривую гиперболического тангенса, согласно формуле (11.29), но мере возрастания скорости до Цщіп, задаваемой выражением (11.30). Пологие монотонные начальные профили, проходящие около неустойчивою стационарного состояния Ui на конечном расстоянии, также эволюционируют к аналитическому решению, замедляясь до vmia и становясь круче. В этом случае замедление происходит в результате встречи фронта волны со стационарным состоянием Ui впереди него. Если убрать это ограничение, позволяя пологим начальным условиям достигать щ только в пределе, то можно получить решения с высокой скоростью, которые не обязательно переходят н аналитическое решение.
В разд. 11.1 мы нашли, что и = — Ци)/ушгх при максимальном градиенте на фронте. Следовательно, крутой фронт волны соответствует низкой скорости распространения, а решения уравнения (11.24) с более высокими скоростями имеют фронты с менее резкими градиентами. Диффузия играет важную роль для фронтов с очень крутыми градиентами, тогда как фронты с пологими градиентами позволяют реакции npoxo.ii:!:. при слабом влиянии диффузии. Таким образом, в системе иодат—мышьяковистая кислота существуют характерные волны с низкой скоростью и большой крутизной фронта, включая аналитическое решение, и произвольно быстрые и пологие волны, представленные нестационарными решениями реакционно-диффузионного уравнения. Предельный вид быстрой волны — это фронт с бесконечной скоростью и нулевым градиентом концентрации; медленная волна задается аналитическим выражением (11.29). Все другие решения представляют собой гибриды: с диффузией, вносящей некоторый вклад в быструю волну, или градиентом начальной концентрации, изменяющим форму и скорость медленной волны. На рис. 11,7 представлены формы волновых фронтов со скоростями, кратными скорости, задаваемой формулой (11.30) для аналитического решения. Эти фронты были получены численным интегрированием уравнения (11.4) с /"(C1) и указанными скоростями. Соответствующие траектории па фазовой плоскости и —у приведены иа рис. 11.8. Видно, что траектории становятся более пологими с ростом v. Когда v становится большой, собственные значения, соответствующие как ui. так и U2, приближаются к О и —v/D. Траектории для фронтов с высокой скоростью приближаются к стационарным состояниям вдоль почти горизонтальных собственных векторов; это Указывает на то, что они мало подвержены влиянию диффузии.
Волны в системе нодат —мышьяковистая кислота, описываемые уравнением (11.29), очень похожи на фронты_ трнггер-иых ноли в системах с возбудимой или колебательной кинетикой, таких, как реакция Белоусова — Жаботннского. Очень
\ \
\ \ 1 і
1 I і 1 І і
1 \
О 2,5 5 7.5 10
Расстояние
Рас. 11.7. Бистро распространяющиеся перепады концентрации подида в системе иода г — мышьяковистая кислота при стехиометрическом избытке мышьяковистой кислоты.
Концентрация н (.M) как функции расстояния (мм). Крпние рассчитаны нз уравнений (11.4)
прн Oo = 2,35-10"2 мм/с (-). o = iioj (----). O=IOoI-----1. 0 = 80.,(.....1, D-
= 2,0-10"3 mm2A п /(i()=f(c,) согласно уранненщо (II.2о).
медленно движущиеся фазовые волны в системе Белоусова — Жаботинского, возникающие благодаря большим фазовым градиентам, превращаются в трнггерные водны [818]. Фазовые волны, возникающие из пологих фазовых градиентов, могут распространяться с произвольно высокими скоростями. В пределе при нулевом фазовом градиенте в колебательной среде фазовая волна имеет бесконечную скорость; в пеко.чебате.іьноіі, но возбудимой среде осуществляются чисто триггерные волновые фронты. (Тайсон и Файф [958] показали, что задние фронты волн в возбудимой нлп колебательной системе БЖ представляют собой фазовые волны.) Волны с большей скоростью могут также возникать благодаря градиенту концентрации или температуры, наложенному на колебательную систему. Эти полны известны как кинематические волны [538, 742].
Если мы определим фазу как долю пути, который прошла реакция от начального состояния до состояния равновесия для системы нодат — мышьяковистая кислота, то произвольно быстрые п пологие волны очень напоминают фазовые волны. В этом случае начальные условия соответствуют отрицательному «градиенту фазы» со значением Ui = O1 которое достигается только на бесконечности.
