Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
T
U
Рис. \\А. фузонан плоскость для системы (П.6) при v = 2,35-10-2 мм/с, ?' = 2,010-3 mmVc н /(и) = f{ct) согласно уравнению (11.25), на которой представлена w(М/с) как функция концентрации и(M).
¦Существует единственная траектории, соединяющая узел (0. 0) и седло J = 5.0-10~3 M1 о)* Показанные шесть траектория были получены интегрированием системы (11.(3) с начальны, мн значениями U=I1OlO-"5 M и ui, изменяющейся в пределах (2.0 — 3,O)-IO"6 М/с.
O1OOIb
00010
-0,0005
-1-^г—г-
/
/
\
/
\
/
/
/
/
/
/
/
/
-
/
I
—
I I I
і
-0.0)0
7
0,001
0.002
0,005
Рис. 11.5 Скорость реакции g(M/c) как функция концентрации U(M) согласно уравнению (11.35) (-). Значения корней: и== Ci = 2,180-10" >
2,186-Ш_3 и 4,1-10-3 М. Показана также фазонан траектория (---)
для системы (11.4) при 1) = 2,998-10-2 мм/с, 0 = 2,0-10-3 мм2/с и I(и) — = 8(?).
Градиент у (М/мм) как функция концентрации и (M). Эта траектории идет от стационар-нот состояния при іГ=(1/5) с^=2,180-Ю" М. к нулевой концентрации. Она идентична траектории, получеиноп из уравнения (11.10) при н(«=2,186-10"3 М, н2=2,180- 10~Э M " =»-3,91-10 M-1.мм"1 JHlIa иставке показана увеличенная окрестность точки (1/5) (пунктиром обозначена неїимеющав физического смысла часть траектории).
0,0024
- 0,0004
Рнс. 11.6. Решение реакционно-диффузионного уравнения для нодных фронтов в системе иодат — мышьяковистая кислота при стехиометрическом избытке иодата.
Концентрация H(M) как функция расстояния (мм) для фиксированного воеыеын. Кривая
рассчитана из ураансння (H.3I3) при к =
V = 2,9!
-3,91-10'
соответстаует уравнению (П.20) при и(=(1/5) Сз + зй^/5йд=2,186-10 " M ¦=2,180-10-3 М.
кг
uu/c, которое =(1/5)? =
меньшей концентрации. Эта траектория оканчивается прн и = 0 по очевидным физическим соображениям. Отметим, что там градиент крутой. Форма волны такого «крутого фронта» [27] показана на рис. 11.6.
11.2. Аналитические решения
Начнем с уравнения (11.3), Du" + vu' + f(u) = 0. Вместо того чтобы анализировать систему первого порядка, как в разд. 11.1, мы преобразуем уравнение (11.3) в уравнение первого порядка. Пусть u' = G(u). Желательно, чтобы G(U) = Q в стационарных точках й, Поскольку и" = G'(и) и', из уравнения (11.3) получаем
DG'
(11.8
Пусть и' = G является функцией и степени п. Тогда функция 6" имеет степень п—1, а \ = —u'(DG'-\-v) имеет степень п + (п— 1) = 2п— 1. Для фронтов в системе иодат — мышьяковистая кислота (разд. 11.3—11.5) функция / кубическая, поэтому 2п — 1=3 и п = 2. Следовательно, мы выбираем градиент так, чтобы он был квадратичной функцией концентрации.
что соответствует параболической траектории па фазовой плоскости.
Пусть паша кубическая функция / задана в виде
/ (и) = — а (и - U1) (и — U2) (и — U3) (11.9)
Поскольку нам нужен перепад, соединяющий два стационарных состояния, мы выбираем
G(u) = u' = k (и — U1)(U-U2) (11.10)
илн любой из трех таких вариантов в зависимости от того, какие два из трех стационарных состояний выбраны. Дифференцирование дает
и" = k2 (и-щ) (и ~и2) (2U-U1-U2) (11.11)
Подстановка в уравнение (11.3) приводит к линейному уравнению
Dk2[2u - (U1 + U2)} + kv-a(u-u3) = 0 (11.12)
Следовательно,
2Dfc2-a = 0 (11.13)
н
-Dk2(u] + u2) + kv + au3 = 0 (ll.H)
Из уравнения (11.13) находим соотношение
(мы выбираем знак k так, чтобы получить отрицательный градиент), которое при подстановке в уравнение (11.14) даст
V = (2Da)1''2 [1 («, + и2)-и3] (11.16)
Из уравнений (11.10) и (11.15) также следует, что
"' = (-2Тг)">- «¦)("- "г) <1!-17>
Интегрирование этого уравнения первого порядка дает
и = -
1 -Ае" ("¦-"'I*
(11.18)
где А постоянная интегрирования, Другое выражение этого решения для случая, когда начальное значение лежит между "і и и, (при А < 0), имеет вид
2 +-V-1111I -^]k(U,-U2)X + a]^ (11.19>
где
пых ImI11Jr^' УРаш,е,1Ие ("•19) проясняет природу волновых фронтов, порождаемых кубической функцией }. Волновой
фронт, изображенный па рис. 11.1, представляет собой гиперболический тангенс с двумя стационарными состояниями в качестве асимптот, с начальным значением, определяемым и, и крутизной, определяемой k.
Поскольку паша независимая переменная — это х— vt, соответствующее решение реакционно-диффузионного уравнения (11.1) имеет вид
и(х, t) = ^±^ + ^^th(-^[k(ul-u2)(x-vt) + a\) =
«, — игАекы''и'Пх~"1) = 1 _ ле*(в,-в.Нх-и(> (11.20)
Уравнение (11.20) вместе с уравнениями (11.15) и (11.16) для определения k п V и известным выражением для скорости J описывает поведение волнового фронта данной реакционно-диффузионной системы. Теперь используем полученные результаты для анализа системы иодат — мышьяковистая кислота.
11.3. Иодидные фронты в реакции иодат — мышьяковистая кислота при стехиометрическом избытке мышьяковистой кислоты
Система иодат — мышьяковистая кислота может быть описана как окисление ноднда податом, реакция (А), и восстановление иода мышьяковистой кислотой, реакция (В) [217, 438, 439, 854]:
