Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Филд Р. -> "Колебания и бегущие полны в химических системах" -> 162

Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.

Филд Р. , Бургер М. Колебания и бегущие полны в химических системах. Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. А.М. Жаботинского — M.: Мир, 1988. — 720 c.
Скачать (прямая ссылка): fluctuations-and-waves-in-chemical-systems.djv
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 275 >> Следующая


{г->--оо) или реакционная смесь перед волной (х^-оо)— это

неустойчивое стационарное состояние и\\ волновой фронт представляет собой переход от этого неустойчивого стационарного состояния к устойчивому состоянию термодинамического равновесия U2- Мы ищем решения, для которых постоянны скорость я форма волны. Полагая скорость фронта v положительной, получаем

Используя предположение о постоянстве скорости [уравнение {11.2)] и вводя движущуюся систему координат х — у/, можно перейти к обыкновенному дифференциальному уравнению

Du"+ vu'+ f(u) = Q (11.3)

Штрих обозначает дифференцирование по движущейся пространственной координате х — vt, которую будем обозначать как ,v. Уравнение (П.З) эквивалентно системе двух уравнений первого порядка (11.4):

«' = V, / = ^--Ц? (4.4)

Стационарные решения уравнения (11.4)—это просто и = й, T = O1 где /(й) =0.

Рассмотрим стационарные состояния и\ п U2- Градиент |у| возрастает между этими двумя точками и максимален на фронте волны, когда у' = и" = 0 и /(«) = —^V- Линеаризация уравнения (11.4) даст собственные значення

;„ — -"'D± У°2/дг - W <">/д (11.5)

Для ('(й) < 0 два собственных значения имеют противоположные знаки и стационарное состояние является седлом; для 0<f'(i2) <v2/4D оба собственных значення отрицательны и стационарное состояние — устойчивый узел. Собственные векторы, соответствующие собственным значенням X, имеют просто/і вид: Y = ?.(и—й).

0,005

0,004 f

0,003

0,002

0,001

4.0 -?,о о 2_0

Расстояние

4.0

0,005

0,004

0,003 u

0,002

0,0Oi о і

200 300

Время 6

400

500

т-г

Рис. 11.2. Скорость реакции I (М/с) как функция концентрации U(M] согласно уравнению (11.25). Значения корней: и = с( = —I1O--5, 0 и 5.010~й М. На вставке показан увеличенный участок вблизи начала координат.

Для анализа на фазовой плоскости мы выбрали функцию j, использованную в разд. 11.3 для описания системы иодат — мышьяковистая кислота при стехиометрнческом избытке мышьяковистой кислоты. На рнс. 11.2 представлена f как функция и. Здесь (U1, 7,) = (0, 0) — устойчивый узел, а (и2, 0)—седло (третий, ие имеющий физического смысла корень при отрицательном значении концентрации показан на увеличенном участке, прилегающем к началу координат). На рис. 11.3 дана фазовая плоскость и — у с двумя стационарными состояниями f и соответствующими собственными векторами. Собственные векторы для Ui направлены к стационарному состоянию п имеют отрицательный наклон, тогда как для и2 один собственный вектор направлен от стационарного состояния с положительным наклоном, а другой направлен к нему с отрицательным наклоном. На рнс. 11.3 показаны также фазовые траектории. Отметим, что все траектории сходятся к узлу в начале координат. Траектория, касательная к собственным векторам в каждом

Рис. 11.1. Решение реакционно-диффузионного уравнения лля нодидных фронтов в системе иодат — мышьяковистая кислота при стехиометрнческом избытке мышьяковистой кислоты.

Концентрации и (M) как функция расстояния (мм) для фиксированного времени (а) и как Функция времени (с) для фиксированного расстояния (6). Кривые рассчитаны из уравнения (11.29) при fc = u,7 мм"1 и у=2.35-10"2 мм/с, которое соответствует уравнению (11.20) ара «,-u M и u2=cJ=.5,0.KfJ М.

стационарном состоянии, соответствует волновому фронту. Отметим также, что те точки иа траекториях, где касательные горизонтальны, образуют график / в соответствии с выражением V = -\f (и)/V прн у' = 0.

Естественно выбрать в качестве направления распространения волны такое, которое дает положительную скорость волны. Однако такой выбор порождает некоторую неясность в отношении устойчивости стационарных состояний, так как узел, «устойчивый» в пространстве, является «неустойчивым» во времени. Мы можем использовать движущуюся систему координат с местным временем. Пусть w = й = du/dt. Тогда система первого порядка превращается в

U = W, w=^[w — f (и)] (11.6)

а соответствующие собственные значения становятся

(П.7)

При U = Ui =0 значение /' > 0 и оба собственных значения положительны; следовательно, стационарное состояние представ-

T-

'' = 2^,0?^ ЛЫ°-(ЛЯ С"С1еМЫ (1Ы) "Р" " = 2,35-10- мм/с, П.»we,, Im1Ir Iі ' І(Сі) согл«ію Уравнению (11.25).

соответствующе бегущему 4»», \ ' У3'10" 10' 0)' "Р«"«"»" =°»°» P=""" ''МТО.М„И» („.?,. 5;??»;*^™»1" ««нтичл» траектории, полученной 1 I- сооственные векторы в STIiJ1 стационарных состояниях

ляст собой неустойчивый узел. При ы2 значение /' < 0 и стационарное состояние — седло. Траектории на фазовой плоскости и — tcj, представленные на рис. 11.4, выходят из неустойчивого стационарного состояния в начале координат и подходят к сед-ловоп точке «2, касаясь собственного вектора с отрицательным наклоном. (Траектории с начальными значениями, слегка отклоняющимися от истинной траектории, расходятся вблизи собственного вектора с положительным наклоном при подходе к седловоп точке.)

Другой тип бегущего фронта наблюдается в системе иодат— мышьяковистая кислота при стехиометрическом избытке иодата (см. разд. 11.5). В этом случае скорость химической реакции g имеет три положительных корпя, причем производная имеет отрицательный знак прн наименьшем и наибольшем значениях корней. Фронт водны образуется между нулевой концентрацией, которая ие является стационарным состоянием, а служит исходной точкой для данной реакции, и наименьшим корнем, который соответствует термодинамическому равновесию. На рис. 11.5 приведены g и фазовая плоскость и — у для системы с избытком иодата. Здесь й — седло, и траектория направлена в сторону
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 275 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed