Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
№, = 0
'W + (cu+ 4)y„-f„U-//),=0, .V0 = O (10.186) Из уравнения (10.186) видно, что, когда у0 = 0,
-(Xy)1 = O (10.187)
y;reяIrнeчrтl^?„;ii0o^85, на ^ п0т С,СЛУ^
___ Уо = 0
ЦНИ в Нулевом во,мд1к'ё)0 + (Го)' Є + (г°)г e* + • • • ¦ где (го)0 - скорость реак-
Аналогично для уа при Xo = O
(10.189)
Таким образом, мы имеем три эволюционных уравнения
где в качестве начала координат мы выбрали точку (р = 0), в которой как х0, так и у0 обращаются в нуль. Отметим, что реакционный член в (10.192) обращается в нуль при р > 0, так как X0(P > 0) = 0. Таким образом, уравнение (10.192) линейно по Z0 при р > 0 и по этой причине г0(р = со) является неопределенным. Более того, неопределенным оказывается и у(р = сю), поскольку уравнение (10.191) также линейно.
Чтобы получить г(оо) н г/(оо), мы рассмотрим далее полные уравнения (10.179) — (10.181) на большем пространственном масштабе. Аналогично, чтобы получить информацию о X0 и «о при р = 0, будет рассмотрено мелкомасштабное поведение решений уравнений (10.179) — (10.181).
10.9.2.1. Поведение ИУатора на больших масштабах. Чтобы понять, что происходит прн р = оо, нужно перейти к крупномасштабному описанию волновых уравнении (10.179) — (10.181). Полагая ср = ер, получим
•'0-+e(C + 4)^-+/,[-^ + .(fPZ-j,)] = O
+ Y) = O (10.193)
і (10.194)
+ /2{2.v[l-2=-.v(l +^)] + в(у-М}=0
(10.195)
Прн е->-0 получим уравнения для членов 0(е '):
(*.</)о = 0
(10.196)
(10.197)
находим
(10.198)
(XVh = O
Д.1Я '1
.,енов порядка О(е') получаются следующие уравнения:
{.aw-.v(i+4)]},+*+r=0 с»-1")
(Со + ц) ЛВ. + /, [- (.vyb + f Р*о - №,] = 0 (1 (1.200)
(Со - e-n)-^ + ({ 2х0[1 - ^ - - (I + ^)] }, + V - ^c) = 0 ф (10.201)
Поскольку X0(P > 0) = 0, пас интересует случай уоФ0. Итак, „з уравнений (10.196) и (10.198) следует, что х„ = 0 и A1 = O. К тому же из (10.199) получаем -(.vj/)2 =-i/o-Y- Подстановка этих результатов в (10.199)-(10.201) дает уравнения нулевого порядка, соответствующие большому масштаоу:
(с, + 4)^ + 1, [/Pzo - Y - 2у0] = 0 11D.202)
(c»-eil> W + MY-W = 0 (10-203)
Мы уже предположили, что перед фронтом волны система находится в стационарном состоянии (т. е. в уравнениях (10.179) — (10.181) нет явной зависимости от времени ], и поэтому
/Рг- = 2//' + у, Рг" = у (10.204, 10.205)
где г* и у* — стационарные значения переменных г и у, которые получаются, если первые производные в выражениях (10.202) н (10.203) принять равными пулю.
При выводе уравнений (10.202) н (10.203) мы провели тщательный анализ случая е->-0. Если бы мы ие сделали этого, а просто рассмотрели стационарное состояние для членов О (є') уравнений (10.176)-(10.178) (т. е. считали бы рг,, = р„, і = 0), то получили бы иной результат. Сравним правильный результат У*—у(1~ 0/2 с результатом, полученным в предположении PiI=Pi;. 1 = 0: ij* = jy. И при гх, и при r,j разница возникает из-за членов ху/е. Величина Уа„ в безразмерной форме дастся выражением
Уы, = (KyCf- 1||/2 = ((/ - I)U-7C]^1= 13,3(f-l) мкМ (10.2П6)
При выборе f «4 получается величина, близкая к экспериментально наблюдаемой. Отметим, что увеличение /г_т также может дать нужную величину для У„„. В разд. 10.9.5 мы аккуратно шчІгнТт','!'!1'™00 Р<-'»'снне нз полного меха-
ч,т „ п +(К ' 11 испРавнм те неточности, которые вознн->"т а рассматриваемой простой модели.
Уравнения (10.202) и (10.203) описывают также поведение системы непосредственно за фронтом полны БЖ, когда происходит возврат к стационарному состоянию. Кроме того, они очень важны при анализе второго значения напряженности поля аннигиляции (т|.>), который проводился в работе [8G2].
Если перед фронтом волны мы отклоним систему от стационарного состояния, то время T возврата системы в то же стационарное состояние будет
T > I/efz = 1/єк3/2 (10.207)
где Z= l/x.i — временной масштаб, связанный с нормировкой, использованной в (10.176) — (10.178); другими словами,
Г > ( "2 -V'2 » 300 с (10.208)
Если система ведет себя так, как предсказывает модель, то может оказаться, что время релаксации возмущений будет составлять 10—20 мин. В этом случае перед нами встает задача нахождения начальных условии и определения концентрацион-но-зависимой релаксации системы к некоторому состоянию, в котором в дальнейшем ее застанет проходящая волна. Более того, по мерс прохождения волны в системе меняются концентрации, п, следовательно, должно происходить ускорение НЛП замедление, соответствующее временному масштабу релаксации Т. Мы еще вернемся к этому вопросу в разделе, где описываются экспериментальные результаты.
10.9.2.2. Поведение ИУагора на малых масштабах. Чтобы выяснить поведение Xo и !/о при р = 0 (этот вопрос уже затрагивался в разд. 10.4), мы рассмотрим решения системы (10.179)-(10.181) па малых масштабах. В разд. 10.4 задача о движении химических воли была преобразована в задачу Стефана с движущейся границей. Используя аналогичный подход, получим уравнение
Од.Х'(0-) = -ОгУ'(0+) (10.209)
