Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Простейший динамический аттрактор - это предельным цикл. Существуют и более сложные аттракторы, такие как многонернодные тороидальные движения и наиболее любопытный «странный» аттрактор, ассоциируемый с хаотическим по
ВеДСущсМствованис динамических аттракторов і> с"с™ма^У и в реальности - в неравновесных системах химических
рикши"! - ставит вопрос, приведет ли добавление процессов транспорта к таким системам к появлению интересного пространственно-временного поведения пли, что пас интересует в данный момент, распространяющихся волн.
10.3.1.2. Разрешимая модель. Рассмотрим систему реакций дХ/д! = D(д2Х/дг2) + B(R)X-A (R) Y (10.20)
dY/dt = D (62YIOr) + A(R)X + B(R)Y (10.21)
R2^X2+y2 (10.22)
Здесь А и В — произвольные функции радиальной переменной R, г — координата; мы предполагаем также, что компоненты X и Y имеют одинаковые коэффициенты диффузии D. Легко показать, что данная система дает решение в виде плоских волн:
X = Rkz.os<f, Y = R0 sin ц), (p = kr — at (10.23)
B(Rk) = k2D, и, =-A(Rt) (10.24)
Так как амплитуда волны Ri1 зависит от k, что определяется решением (10.24), то эти волны имеют частоту со, которая зависит от волнового вектора /г, когда частотная функция A(R) зависит от R.
С помощью этой модели мы можем рассмотреть некоторые частные случаи, которые иллюстрируют весьма нетривиальные явления:
а) Продолжение предельного цикла и обрезание значений волнового вектора. Для случая В = 1 — р2 из (10.24) получаем, что Rn = [1—A2D]"2. Очевидно, что имеется предельное значение kc = D-"2, выше которого не существует волновых решений (параметризованных вектором /г). Поскольку A = O соответствует однородным колебаниям типа предельного цикла, видно, чго эти волны являются естественным продолжением однород-
Рис. 10.10. Зависимость амплитуды от волнового вектора для простой модели, в которой однородный предельный цикл (к = 0) вырастает и одпо-иарамстрическое семейство длинноволновых решений (малые /(), обры-вающееея в точке бифуркации при конечном к.
Волнокой вектор к
Рис. 10.11. а — жесткий предельный цикл при /г = 0, вырастающий в два семейства волновых решений, которые обрываются через бифуркацию конечной амплитуды; б — простой цикл вырастает в семейство волн, которое обрывается при конечной амплитуде (в отличие от примера иа рнс. 10.10). Отметим, что это волновое семейство исчезает, слипаясь с другим семейством, которое рождается в точке ki через малоамплитудную бифуркацию.
волновой вектор к
ных колебаний на семейство распространяющихся волн. В конечном итоге диффузия приводит к тому, что пропорциональность фазы величине кг не может быть реализована. B этом и состоит причина обрезания kc. На рнс. 10.10 представлена зависимость Rk от к2.
б) Волны конечной амплитуды в возбудимых средах. Взяв В (R) = 1 — (/?; — R-)2, для амплитуд получим соотношение
Rk. ± = [R\±(l-kWfT
Эта зависимость показана на рнс. 10.11. Отметим, что данный случай в корне отличается от рассмотренного выше продолжения предельного цикла. Для этого случая однородное стационарное состояние X=Y=O прн Ri > 1 устойчиво к малым возмущениям Семейство волн здесь является продолжением
цикла конечной амплитуды, т. е. такого цикла который окружает устойчивое стационарное состояние. Как видно из пне 10 11 а ветвь волновых решении также ограничена по к. Ест Ri < 1 то однородное стационарное состояние неустойчиво однако' все семейство ограничено значениями kc — D "\ причем для всех к, близких к кс, решения имеют конечную амплитуду. В этом состоит отличие от предыдущего случая (д_= I—/?2), в котором при подходе к граничному значению к,- амплитуда'решений стремится к нулю.
10.3.1.3. О возможности обобщений. Из приведенного простого примера видно, что в системах с простым предельным циклом могут распространяться плоские волны. Остается выяснить, в какой степени это верно в общем случае, в какой мере это относится к распространению нсплоскнх волн и можно ли применить те же выводы к другим динамическим аттракторам.
10.3.2. Теория возмущений предельного цикла
10.3.2.1. Качественная картина. Интуитивно можно ожидать, что в реакционной системе, в которой имеются однородные колебания типа предельного цикла, должны также существовать неоднородные решения, соответствующие циклам с локальной фазой. Это представление должно быть точным, когда масштаб пространственных изменений настолько велик, что диффузия в некотором смысле слаба. Пусть T— период предельного цикла, /. — масштаб пространственных изменений (которые представляют интерес в рассматриваемой задаче), a D — характерный коэффициент диффузии. Тогда (ВТ)'/2 — расстояние, па которое вещество иродпффуидирует в течение одного цикла. Если эта диффузионная длина цикла гораздо меньше характерного масштаба рассматриваемой структуры:
е = ДГ/1г<1 (Ю.25
то приближение локального предельного цикла должно быть справедливым. Ниже мы выведем уравнение для эволюции фазы колебаний, используя мпогомасштабпую теорию 1172 742,744]. її.