Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Я (X) » Я (A1) + [F (X0) - F (X1)] (X - X1)I(X0 — Л",) (10.19)
її аналогичную аппроксимацию для Я1. Эта аппроксимация точна в точке Ад, где Я = 0, и вблизи точки разрыва. При промежуточных значениях X ошибка зависит от кривизны медленного многообразия. Таким образом, эта аппроксимация не является очень хорошей, когда Xi или X2 находятся вблизи складки медленного многообразия (рнс. 10.6).
Пространственная координата
Рнс. 10.6. Медленное многообразие на плоскости Ii vi „ j meii в соответствующей системе котппя» V^l 1 ' > и ч>орма ВШ|||Ы. бсгУ-ними масштабами. 0™еим"то бегТшйTZ"™" "Н0Г""В "Р™6"" многнми времени,™,, масштаба™ Z4"''™" характеризуется разрыва. -шипим і.іучас и импульсе имеются два
"Р" "«"'I аппроксимации X удовлетворяет уравнениям (10.14) и (10.15) при подходящих константах Л и В, имеющим вид
ДД" + ц*' + Л* +0 = 0
Это уравнение дает решение в форме экспонент [пропорциональное exp(scp) при определенном s]. (Следует отметить, что А, В и s будут, вообще говоря, различны на разных ветвях.) В этом приближении вычисления, намеченные в подразд. 10.2.3.3, могут быть выполнены аналитически. Следовательно, можно определить профиль и скорость волны.
Очевидно, этот подход можно применить к быстрым волнам и к системам со многими компонентами (>2), а также к системам с более сложными видами перескоков с одной ветви на другую при катастрофах большей размерности.
10.2.4. Катастрофы и распространение
Топологию медленных многообразий можно использовать для того, чтобы описать множество возможных способов распространения воли с многими временными масштабами. Многомасштабный подход, упомянутый выше, можно затем использовать для вычисления волновых профилей и скоростей. В заключение нашего обсуждения мы рассмотрим некоторые явления, обнаруженные с помощью комбинации этих подходов.
10.2.4.1. Импульсы. Как показано в работе [174] н проиллюстрировано рнс. 10.6, импульсы могут существовать в двух-компопентных многомасштабных системах. Отметим, что импульс на рис. 10.6 имеет два разрыва, соответствующие двум перебросам с ветви на ветвь. Чтобы получить импульсы
Пространственная координата
Рис. 10.7. Мпогомасштабная система из трех компонентов» (.Y 1f- Z>f,M^I0M мое многообразие которой образует сборку в ,азов™ "ро^а ^ве. .^^ ^ hpo1Pn.-,,, импульса но быстрой e4«»J^h»^,?^. когда на верх-следующим медленным возвратом. Такая форма харам^ нем листе многообразия пет аттрактора.
Z
Пространственная координата
Рис. 10.8. То же, что и на рис. 10.7, но неустойчивое колебательное состояние на верхнем листе приводит к более сложной форме импульса.
с медленным возвратом, нужно перейти к системам с тремя компонентами (рнс. 10.7). Для одной быстрой (Z) н двух медленных переменных (X, Y) это возможно, если на медленном многообразии ZZS=(X, Y) имеется сборка. Как видно пз рнс. 10.8, прн наличии колебательной неустойчивости динамики X, Y на верхнем листе сборки на вершине импульса могут появиться колебания [290].
10.2.4.2 Фронты перехода с динамическими волнами. Из рнс. 10.9 видно, что может существовать движущийся переход между стационарным состоянием и динамическим поведением. На нем показана система трех переменных, где иа верхнем листе медленного многообразия сборки имеется предельный
Пространственная координата
Рис. 10.9. То же, что и па рис. 10.7, однако на верхнем листе над точкой переброса имеется предельный цикл. Это приводит к колебательному поведению, другими словами, последовательность волн проникает в устойчивую область. Прохождение фронта связано с переходом через определенный порог лто пример волновой неустойчивости но отношению к возмущениям конечной
цикл. На этот лист система приходит в результате продвижения переходного слоя, что приводит к появлению фронта с ос циллнрующим хвостом. Для медленного многообразия трех измерений (сборка двумерна— X, Y) фронт может иметь хаотический хвост из-за наличия странного аттрактора на той ветви, на которую совершается переход.
10.2.4.3. Другие катастрофы. Программа, изложенная в работе [290], состояла в том, чтобы использовать возможные геометрии медленных многообразий для получения системы классификации всех допустимых волновых явлений, которые могут происходить вследствие катастроф на медленных многообразиях. Очевидно, что требуется еще большая работа по описанию множества возможностей. В предшествующем обсуждении мы ограничились только двумя катастрофами — системами со складкой (X, Y) и со сборкой (X, Y, Z). Для одной быстрой и I, 2, 3, ... медленных переменных мы можем в принципе иметь все различные каспопдные катастрофы Тома [922]. Изучались H другие катастрофы. «Омбилнки» могут получаться при наличии двух быстрых и различного числа медленных компонентов. Работа [290] дает пример распространения фронта омбилнки.
10.3. Волны как возмущенные динамические аттракторы
10.3.1. Динамические аттракторы
10.3.1.1. Общие замечания. B качестве термина «динамический аттрактор» здесь используется понятие, которое следует определить как область в пространстве переменных системы, эволюция которых задастся набором обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для этих переменных. Эта область притягивает траектории из конечной окрестности вокруг нее и содержит траектории, которые не затухают, т. е. они неограниченно долго эволюционируют во времени с конечной амплитудой. Наконец, каждая точка внутри динамического аттрактора, эволюция которой задается ОДУ, дает траекторию, полностью лежащую внутри аттрактора во все последующие моменты времени. *
