Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
сі bY/dt = (lle.)(dGjdY) [
1A', ys(X)
6У
(10.5)
Рис. 10.3. Два устойчивых состояния (I и 2) в системе с многими временными масштабами. В этой системе возможно движение фронта перепада между состояниями 1 и 2.
ответствующем перескоку. В системе координат, движущейся вместе с волной вдоль оси бесконечной системы, получим следующую систему уравнений:
DxX" + VX' + F (X, Y) = O (10.6)
DgY" + vY' + (1/е) G (A", Y) = O (10.7)
где ф = X — vt, «'» = d/dtp н v — скорость волны. Полагая, что кривые G =0 п F = 0 имеют вид, показанный на рис. 10.3, мы обнаружим, что при є—> O существуют два различных класса распространяющихся фронтов, соединяющих стационарные состояния (G = F = 0).
10.2.3.2. Быстрые волны. Решение уравнения (10.7) подразумевает, что при е-»-0 либо мы находимся на медленном многообразии и G должно быть равно нулю, либо Y должно меняться очень быстро. Вводя новые переменные
? = 81'?, в=е-"Ч (Ю-8)
для уравнения (10.7) получаем
Dy(d*Y/d?)+v0(dY/dQ + G(X, Y) = O (10.У)
Мы ожидаем, что, так как е->0, Л' остается постоянным, a Y имеет монотонный профиль, соединяющий устойчивые решения уравнения G(X1Y)=O для величины X, соответствующей стационарному состоянию в той области пространства, до которой волна еще ие дошла (т. е. когда <р>0). Такие фронты обычно имеют единственную скорость V0, которая будет зависеть от значений Л", и X2 (рнс. 10.4) переменной А в двух стационарных состояниях.
Рис. 10.4. Альтернативные случаи движения фронта перехода между двумя устойчивыми состояниями в системе с многими временными масштабами: 1->-2 н 2-*1. Когда временной масштаб быстрого компонента У становится малым, эти волны движутся с очень большой скоростью.
X
Ожидается, что, поскольку скорости реакции и распространения у велики, структура, возникающая за фронтом и определяемая медленным многообразием, будет простираться очень далеко. Поэтому для описания ожидаемого длинномасштабного изменения введем переменную ф
Ф = е-"2Ф (Ю.10)
При е-»-0 уравнение для А' приобретает вид
v0(dX/dq,) +F(X, у,(X)) = 0, ф<0 (10.11)
Начальными условиями для этого уравнения являются ( X1, для быстрой волны 1 -> 2 I. X2, для быстрой волиы 2 -> 1
Так как F(X, у5 (X)) равно пулю в точке X1, когда у находится па ветви, содержащей состояние 1 [и аналогично F(X2, У^(Х2)) = 0 на ветви 2), то мы видим, что решение уравнения
(10.11) автоматически эволюционирует от начального состояния
(10.12) к соответствующему конечному состоянию. Это показано на рис. 10.3.
10.2.3.3. Медленные волны. При определенных условиях два устойчивых стационарных состояния для одного компонента могут сосуществовать. На рис. 10.5 показана величина X, обозначенная как X0, при которой постоянный фронт переменной Y для уравнения (10.9) указывает на сосуществование, т. е. V0 = 0. Таким образом, мы должны исследовать возможность того, что Oo может быть порядка г}'* или меньше п, следовательно возможность того, что существуют волны, для которых V конечна при в->-0. '
Рис. 10.5. То же, что и на рис. 10.4, однако показана возможность распространения медленных волн. Здесь скачок происходит в точке Хо, соответствующей значению X, при котором фронт перепада по Y при постоянном X имеет нулевую скорость. Показан переход 2 ->-1.
Y
Вновь примем ср = е1/2?;, где пространственная переменная t соответствует масштабу переходного слоя переменной У. Так как V теперь конечна при е-»-0, то уравнение (10.9) заменяется на
Это уравнение имеет ограниченное решение для —со < ^ < со только для одной величины переменной X, обозначенной как X0. Поэтому качественная картина должна быть похожа нарис. 10.5 с гладким изменением вдоль ветвей I и II, соединенным скачком при AV Какое состояние будет по мере продвижения фронта устанавливаться, а какое исчезать, зависит от знака скорости :'. На рис. 10.5 показан переход 2->- 1.
Гладкое поведение описывается решением уравнения
D0 (cPY/d?) + G[X, У) = 0
(10.13)
Dx (d2X/dtf) + V (dX/d<p) + F(X) = O ( F (X, У1 (А")) = Я (X) ср > 0 F{X)={ F(X, У»(А")) = Я' (А") ср<0
(10.14)
(10.15)
Это уравнение при начальном условии A-(O) = X0
(10.16)
так как Я (A',)= Я'(X2)= 0.
Скорость фронта подлежит определению. Она может быть наїїтепа из условия гладкости X(Cp) в начале координат:
\dJP(<р; v)/dV] 1^0+ = IdX" (ф; р)Л*ч>] |ф_0_ (ю. 18)
что представляет собой алгебраическое уравнение при определенных Xі и X".
10.2.3.4. Линеаризация ветвей. Форма медленного многообразия в области, содержащей точку срыва п точку, в которую система приходит после срыва, во многих случаях довольно хорошо аппроксимируется прямой для случая двух компонентов (X її Y) или плоскостью для случаев большей размерности. Это наблюдение подсказывает схему аппроксимации для расчета гладкого поведения волновых структур в системах с многими временными масштабами.
Рассмотрим иллюстративный пример для двухкомпонентпого случая из предыдущего раздела. Для медленных волн эволюция па медленном многообразии представляет собой переход от точки срыва Xo к стационарному состоянию Xi на ветви I. Уравнение для А' приобретает вид (10.14) п (10.15). Рассмотрим, однако, аппроксимацию
