Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Мы увидим что кинетические процессы не дают волновому фронт" расплываться из-за диффузии. Для того чтобы кипети-ческші процесс был эффективен, он должен быть достаточно дачек от равновесия, что обеспечивает необходимое условие существования нетривиальных явлений в рсакцноішо-транспортиои системе Другое необходимое условие распространения химических both состоит в том, чтобы скорости кинетических процессов'были нелинейными функциями переменных, описывающих систему.
Имеются три основных типа волн, способных распространяться в одномерной системе. Фронт —это бегущая зона перехода, за которой система остается в состоянии, отличном от того, в котором она находилась до его прохождения. Импульс, локализованный в пространстве, оставляет систему в том же состоянии, что и до его прохождения. И наконец, возмущение может распространяться в виде периодических илн непериодических последовательностей воли.
Огромное разнообразие волновых явлений в химических средах можно представить как пространственные распределения этих одномерных профилей в различных нетривиальных геометриях. В то же время эти явления можно понять и классифицировать в рамках топологического подхода к кинетике, лежащей в основе распространения волн. Именно эту сторону мы подчеркиваем здесь.
10.2. Катастрофы и распространение
10.2.1. Медленные многообразия* в системах с многими временными масштабами
Химические реакции могут протекать в очень разных временных масштабах. Поэтому вполне вероятно, что в многостадийном механизме некоторые реакции достигают квазистациоиар-i ого состояния и адиабатически следуют за более медленным 2™' Мно'«ство точек в пространстве концентраций, ко-22?" величины быстрых переменных при'эволюции от^оТД'о п ЮеТСЯ медлешшм многообразием. Если система ^равдися «энного многообразия, то она быстро иа „его
иЙКТ™ """более интересной, когда медленное S,Skтакая ™ многолис™ьш. В данном разделе, мы по-«раген, ю х^ приводить к распро-__le м'-х волн- Мы также обсудим геометрию этих
терм"™ Г°роа- *<"" " °-Чест„е„„ой литературе термин «квазисташюиарные поверхности». - Прим. ред.
Разнообразие н свойства химических воли
поверхностей, затрагивая теорию «катастроф» или «сингулярно-стеи» как метода классификации типов допустимых свойств медленных многообразий [ 174, 290, 308, 442, 695, 743].
10.2.2. Иллюстративный пример
Рассмотрим двухкомпонентную модель, в которой XnY эволюционируют согласно уравнениям
dX/dt = F(X, Y)1 dY/dt = (1/е) G(X, Y) (10.1, 10.2)
Изучение поведения этой системы в пределе е->0 представляется формальным путем исследования того, как эволюционирует система, когда характерный временной масштаб ty изменения У гораздо меньше, чем Ix для X (т. е. е = ty/tx).
Из уравнения (10.2) мы видим, что при е->0 система эволюционирует очень быстро, если только G(X, Y) не мало. Поэтому мы называем множество точек
G(X, Y) = O (10.3)
медленным многообразием. На медленном многообразии Y = = YS(X), и, следовательно, мы получаем замкнутое уравнение для X:
dX/dt = F(X, Y5(X)) (10.4)
Эта картина достаточно проста, но она может быть разрушена весьма необычным путем. Чтобы понять, в чем дело, рассмотрим рнс. 10.1, где показаны различные примеры кривой G(X, Y) = 0. В случае а функция Ys(X) является однозначной, а потому уравнение (10.4) однозначно определено и для наших целен не представляет интереса. Наоборот, случай б допускает перескоки с одной ветви на другую, так как, согласно уравнению (10.4),
Рис, 10.1. Медленные многообразия в двухкомпонентных системах: о— однозначное и 6 — многозначное. Случай б допускает множество разнообразных явлений, связанных с распространением волн.
У
t
Рнс. 10.2. Многозначное медленное многообразие. Стрелки позволяют судить об устойчивости различных ветвей.
X
система движется к одному из экстремумов кривой: когда система покидает медленное многообразие, возникает быстрое движение.
Чтобы двигаться дальше, рассмотрим свойства устойчивости медленного многообразия. Так как X меняется относительно медленно, то мы можем изучать эволюцию малого отклонения от медленного многообразия 6У=У — Y3(X) для фиксированного Л. Таким образом, для малых 6У имеем
Ветви, для которых dO/dY < 0, устойчивы, а ветви, для которых dG/dY > 0, неустойчивы. Мы указываем это с помощью стрелок, направленных к или от медленного многообразия, как на рис. 10.2. B представленном случае верхняя и нижняя ветви являются аттракторами, в то время как средняя ветвь неустойчива. Поэтому можно ожидать, что медленное поведение будет присуще системе только на нижней и верхней ветвях.
Из этого простого примера мы видим, что в пространстве переменных системы динамика систем с многими временными масштабами может быть описана в рамках топологии медленных многообразий. Более того, интересное поведение можно ожидать тогда, когда это многообразие оказывается многозначным вследствие нелинейности скоростей реакции.
10.2.3. Распространение фронта в двухкомпонентных системах
10.2.3.1. Общая структура. Распространение плоского фронта в двухкомпопентной системе служит иллюстрацией множественности возможных волновых явлений при распространении со-
