Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
dX/dt = b-XA-X2Y-KX3
dY/dt = а - KY - X2Y A- KX3 (9,66)
Если мы теперь добавим некое сильное периодическое возмущение с амплитудой а в правые части этой системы уравнений, то может возникнуть вопрос, будет ли вектор решения пропорционален а'/з или, возможно, а или XnY будут зависеть от а по-разному. Метод, который доказывает существование периодических решений и обеспечивает алгоритм для получения их в форме рядов, был предложен Вазовым [991]. Этот метод, по-видимому, не может быть применен к химической системе общего вида, но, поскольку он применим к ряду химических систем [811], мы опишем его в форме, приспособленной к системам двух переменных.
Итак, мы исследуем возмущенную модель Селькова в форме
dX/dt = ~X + X2Y-X3KA- aQB (сор/)
dY/dt =-KY-X2Y A- X3K + aQA (u>pt) ( * '
Константы а и b включены в QA и QB, которые являются неотрицательными (так что концентрации всегда больше или равны нулю). Метод Вазова основан на представлении системы в виде
(0 eVJz = g(Z,f,e) (9.68)
где є — малый параметр, v — некоторое положительное целое, а g —периодическая функция аргумента t**. Нашей первой задачей является запись уравнений (9.67) в форме (9.68). Чтобы сделать это, удобно сначала превратить систему (9.67) в одно уравнение второго порядка, которое затем можно записать в форме (9.68). Замена переменных, которая превращает систему (9•6J) в дифференциальное уравнение второго порядка, такова: P = X А- У, Q = X. Тогда уравнение второго порядка по P будет
* Нормировка при переходе от (9.65) к (9.66) следующая: k3t -> У (*2/fc»)h -> Y1 X (kilkjl* -> X, k,A {It2Ik3Mk3 -> a, k3B (k2/k3) -> b, kjk3 -> K
и fe2/fe2 -> K.
гг., It имеется адлый РЯД Других требований, касающихся днфференцнруемо-удовлетворяют им™'"'"' "° М°ЖИ° считать' что кинетические системы всегда
С"стсмод Действием периодического возмущения
__361
иметь вид
p + KP -0(? + Qe) = [O(Q,, + QB) _р _ KP] + U(K - I)Q3 +
+ [1/(K -i)][p+ kp-a (QA + Q8)I» {P _ [(1 + кт _ щ х
„ x [P + KP-a (QA + QB)\) (9691
Затем сделаем замены " w)' ^-oyj
Р = аг„ г,=г2, а=1/е (9.70)
и получим систему в форме (9.68) с v = 2 и г = (г,, г2):
(о е2)(г2) = ( Лі + у)
где
(9.71)
д = [1/(к - 1)] [Q., + QB _ Qyl _ (і + K)22 + Кг,] (9.72)
Y = [Z2 + Kz1 - (Q„ + QB)f x
(I + /С)/(К -l)[z2 + Kz1-(Q71 + Q5)]
К- I
(9.73)
Чтобы результат имел смысл, мы должны исключить из рассмотрения случай, когда константа скорости K=I.
Система в форме (9.68) имеет /',,-периодическое решение для малого е, если только одновременно выполняются следующие четыре условия:
Условие (Cl). Уравнение (9.68) с є = О
/1 О \ .
[Q Jz= g(Z, I, O) (9.74)
должно иметь 7'р-перподііческое решение. Данное условие означает, что мы должны считать -j> в системе (9.71) равным нулю; это дает два векторных решения для модели Селькова. Одно соответствует приравниванию членов в квадратных скобках нулю. Можно показать, что это решение при подстановке в систему (9.67) дает комплексное решение для исходной переменной X, что лишено физического смысла. Другое векторное решение получается при приравнивании нулю выражения в фигурных скобках в (9.73); обозначим это решение как Z = (Ri, R2) с
*. ¦= «Ч- (тУг) 'Ш <«¦• + °->ехр KtS) '1 *+ С J
(9.75)
R2 = Ri
Интеграл снова является неопределенным, а С постоянная интегрирования. Это решение релаксирует к Г -периодическому ре-шеипю с постоянной времен.. (1 + К)/(1+КЛ),по оно является
Глава 9. П. Ремцс, Дж. Росс
гтпого ^-периодическим тогда и только тогда, когда посгояи-Sm1TeWOBa1Mm принята равной нулю. Это периодическое решение с С = О имеет вид
«I-«p[-(-V^) ']\^0^[{Ш) ']* (9.76) Ri = R]
и дает физически приемлемое решение для уравнения (9.67):
^T^exp[-(irbf-)^(Q,, + QB)X
Xcxp[(^)/]* + W (9 77)
Y = Kx + 0(a°)
Отметим, что каждая компонента всегда положительна, если ее достаточно велико п QA + Qs неотрицательна.
Другие три условия требуют анализа матрицы линеаризации L, вычисленной в точкеz0Ss (У?!, R2):
L(z01 '-е)^(№і dgt/dJ^ (9.78)
Должны выполняться следующие условия:
Условие (С2). Аргумент в неограниченного комплексного собственного значения к = |?. |ехр(гЭ) матрицы
С 0 )
L (z0, /, е) (9.79)
ие должен стремиться к ±я/2 при е->0. Для модели Селькова прямое вычисление этого неограниченного собственного значения дает
я = (1/е2) (а^,/ага) = (я;)7[е2 (і + ^)] + <? (е°) (9.80)
При е->О величина R] неотрицательна, так что комплексный аргумент в равен нулю. Следовательно, модель Селькова удовлетворяет условию (С2).
Условие (СЗ). Если мы запишем L(z0) I, O) как
то мы должны иметь
(9.81)
dt (9.82)
Прямым вычислением для модели Селькова получаем Ln = O1 L12=I и l?Lv = — (\ +kk)i(I+ к). Поэтому ехрІ-Г-Х X(I+ КК)/(1 + к)] никогда пе равна единице для положительных констант скорости. Следовательно, модель Селькова удовлетворяет условию (СЗ).
Условие (С4). l22 не должен обращаться в нуль пи при каком/. Для модели Селькова мы имеем L22 = {RiYl(I + к). Поэтому l22 никогда не равно нулю, поскольку R' никогда не равно нулю.
