Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Внутри амплитудно-частотной области, где анализ предсказывает существование двух предельных циклов (рис. 9.10), численные расчеты подтверждают это предсказание. Например, два предельных цикла, появляющиеся для CDp = я/128 и е = 0,25 К, показаны на рис. 9.11. Так как є довольно мало, то эти предельные циклы оказываются близкими; их можно разделить простым увеличением є. В зависимости от начальных условий траектория асимптотически приближается к тому или другому из этих предельных циклов.
0,2
0,1
1 ДвухчастотныЙ аттрактор
0,027
р • -
Рис. 9.10. Зависимость ампчитали »„Л
тически предсказанное число .т™ него воздействия от частоты и теоре-в областях, „ля «о™™. " аттРакторов в расщепленной полосе захвата.
чнслЛ'., Ы° возмУ^нчя могут число различных предельных циклон.
м we
4,0Op
3,20 -
I 2,40 -о
о"
1,60 -
0,60 -
о _
310 330 350 370
т,к
Рнс. 9.11. Два предельных цикла на плоскости С, T возникают нз иевозм' щепного предельного цикла. При уменьшении амплитуды возмущения эти лі никла снова сливаются с невозмущенным аттрактором.
4,0Op
3,20 -
1_
4.2,40-
п
О
о-1,60-
0,80 -
О I_L__I I_I_I_і і
310 330 350 370
т, к
Рис. 9.12. Три близкорасположенных периодических аттрактора па плоскости С, T под действием шума. Апериодическая траектория содержит шумовую компоненту її случайным образом перескакивает между областями притяжения трех аттракторов.
Когда иа систему с «расщемленной» полосой захвата действует шум, траектория никогда пе стремится к определенной асимптотике, перескакивая между близкорасположенными периодическими аттракторами [813]. Пример такой траектории, полученной численным расчетом, приведен на рис. 9.12. В отсутствие шума эта система имеет три Ллткорлсиоложенпых периодических аттрактора.
ПІ і і і_I_L oL-J-1-1-1-L
0 304 320 336 304 320 336
Рис. 9.13. Множественные аттракторы па плоскости С, T под действием различных возмущений при обращенной бифуркации.
а —возмущение отсутствует: и системе имеются устойчивый фокус (точка) ч устойчивый предельный цикл: б —слабое периодическое возмущение: и системе имеются предельные циклы с большой Ii малой амплитудами; б —другое слабое периодическое возмущение-внутренний аттрактор остается предельным циклом, а внешний становится двухчастотным, г — двухчастотное возмущение: система имеет два двухчастотпых аттрактора. При слабом изменении частот внешний аттрактор может быть сделан трехчастотным.
Наряду с тем что приложенное периодическое возмущение может давать множественные аттракторы, автономная химическая реакция также имеет множественные аттракторы в некоторой области пространства параметров. Они получаются в результате обращенной бифуркации Хопфа *, которая происходит, когда реакция проводится прн более низких температурах холодильника 1812]. Нсвозмушенные аттракторы для этой системы представляют собой устойчивый фокус, окруженный устойчивым предельным циклом. Прн возмущении слабым периодическим воздействием фокус становится низкоамплитудным предельным никлом, а внешний предельный цикл либо остается предельным никлом, либо расщепляется иа несколько предельных циклов,
,..„", ,0.Г'рі"нс,"іая, бифуркация Хопфа-ато такая бифуркация, когда пре-'чгтоиІ,,!"КЛ фа ,ІСУСТ0ІІЧІШ- То'-Да он служит сепаратрисой между двумя лої™ Г "PPOKPP»"». ол,,|,м "3 которых является устойчивый фокус, а др>гим — устойчивый предельный цикл.
Системы под действием периодического возмущения
359
380(-
300 -
8 000 24 000 40 000
с
Рис. 9.14. Множественные аттракторы, показанные на рнс. 9.13, и, под действием шума.
Траектория, определенная численным методом, перескакивает случайным образом между предельным циклом и фокусом, образуя зоны с иысокой п низкой амплитудами. Шумовой сигнал дооольпо велик (О, IK). так что средние времена первого прохождения достаточно малы.
либо становится двухчастотной траекторией. Появление этих аттракторов под влиянием нескольких различных возмущений показано на рис. 9.13. Когда система, приведенная на рис. 9.13, а, подвергается действию шума [813], во временной зависимости температуры в реакторе происходят случайные во времени резкие переходы (аналогичные фазовым переходам первого рода) между двумя аттракторами (рис. 9.14). Эти два аттрактора, очевидно, представляют собой высоко- и низкоамплитудные колебания. Колебания с малой амплитудой — это вращение вокруг устойчивого фокуса вследствие того, что шум не дает траектории системы успокоиться.
9.3.3. Сильные периодические возмущения: модель Селькова
Рассмотрим модель Селькова с обратимыми реакциями [822]:
*.
А ч=* Y
к,
2х + у 4± ЗХ (9.65)
A'l
*1
A' В
к,
Поскольку эта реакция содержит автокаталитическую стадию, иевозмущенная система может характеризоваться большим разнообразием нелинейного поведения, включая предельные циклы
360
Глава 9. П. Ремус, Дж. Р0сс
и множественные стационарные состояния [822]. Если в системе происходит быстрое перемешивание и концентрации реагента А и продукта В поддерживаются постоянными, то редуцированная система уравнений для изменения во времени нормированных концентраций иптермедиатов XnY запишется в виде*
