Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Филд Р. -> "Колебания и бегущие полны в химических системах" -> 127

Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.

Филд Р. , Бургер М. Колебания и бегущие полны в химических системах. Под редакцией д-ра физ.-мат. наук, проф. А.М. Жаботинского — M.: Мир, 1988. — 720 c.
Скачать (прямая ссылка): fluctuations-and-waves-in-chemical-systems.djv
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 275 >> Следующая


Для установления границы главной полосы захвата \п = = т=\ в уравнениях (9.15) — (9.18)] подставляем eb, Z0 и X0 в уравнение (9.18), чтобы получить исключительно простое относительно 6 выражение

и = sin 6/2гВ sin Г (9.55)

Из уравнений (9.19)-(9.21) мы имеем — | (1/2)|й sin Y| < и < < ] (1/2);В sin ГI н, следовательно,

O)0 - I e/2IB sin Г |< а р < O)0 4-1 е/2|В sin Г | (9.56)

Для данного набора а, вблизи границы устойчивости [812] эти предсказанные границы полосы синхронизации сравниваются на рнс. 9.6 с границами полосы захвата, приблизительно определенными численным методом. Точное расположение границ полосы захвата трудно определить как экспериментально, так и численно из-за существования критического замедления.

Согласие не является идеальным в двух отношениях: 1) положение острия аналитически предсказанной полосы не точно из-за погрешности теоретического предсказания частоты. Это можно исправить, проводя аппроксимацию частоты по формуле Хопфа с точностью до членов более высокого порядка; 2) если сделана поправка на неточную локализацию Шо, то все равно аналитические и численные результаты расходятся при больших ?. Эю связано с асимптотическим характером аппроксимации.

О U ч

Рис. 9.6. Сравнение границ полосы захвата, предсказанных аналитически (кривая а), с численно определенными границами (в).

Острие аналитической кривой находится при несколько большей частоте из-за исходной ошибки в невоэмущенной частоте. Когда кривая а сдвинута (кривая б) так, что острия б и о совпадают, эти две кривые все же не совпадают при высоких амплитудах возмущения из-за недостаточно быстрой сходимости аналитической аппроксимации.

Для определения угла захвата фазы мы обратим только что описанный процесс, выбирая а>р (или ті) внутри разрешенной области. Уравнение, обратное уравнению (9.55), является двузначным на интервале [0, 2л] и дает

_( sin~J (2r\tB sin Г) j

6 ~ 1 я - sin-J (2rfsB sin Г) j (9'57)

где sin 7t>' — главное значение арксинуса. Из этих двух корней устойчивый, конечно, удовлетворяет условию (9.30). Интересное соотношение обнаруживается, когда мы сравниваем угол та фазы на левом и правом краях полосы захвата. H.. краях корни имеют асимптотики: 6==—я/2 на низкочас. границе и 6 = +я/2 на высокочастотной границе. Разница в л радиан между правым и левым краями полосы захвата характерна для случая, когда синусоидальное возмущение захваты-

вает .'іU)Oi)Ii продольный цикл. На левом краю полосы захннти ноз.мущенпе

Поэтому разность фаз между возмущением п температурным откликом равна Г, что соответствует разности фаз между двумя компонентами X0; следовательно, фаза колебаний концентрации может быть найдена нз измерения разности фаз между колебаниями температуры и температурным возмущением. Для выбранных параметров аналитическое решение дает Г — 0,73 радиан. Численное решение для температуры иа низкочастотном краю полосы захвата и внешнего возмущения дает эту разность 0,73 почти точно (рис. 9.7). Небольшие ошибки вызваны трудностью численного определения точной границы полосы захвата и присутствием высших гармоник в выражении (9.59), что делает определение значения Г неточным.

Вблизи границы устойчивости, где ряды для периодических решений можно найти аналитически, очевиден резонанс по амплитуде, когда частота возмущения близка либо к Шо (выше границы устойчивости) і либо к частоте затухающих колебаний (ниже границы устойчивости)- Из уравнения (9.4) мы видим, что причиной увеличения амплитуды является малая величина действительной части двух собственных значений. Система двух переменных, подобная этой, имеет только два собственных значения. Резонанс для выбранных значений параметров вблизи нормальной бифуркации Хопфа показан на рнс. 9.8. Данные для этого рисунка взяты нз численного решения возмущенной модели с заданным синусоидальным возмущением. B окрестности точки бифуркации Хопфа амплитуда увеличивается в 4 раза.

Возможность использования резонансных эффектов мы рассмотрим на примере их влияния иа потенциальную полезную работу в системе Хнмскерка. Для этого удобно рассмотреть данную реакцию как компонент двигателя, который на входе имеет поток с высоким химическим потенциалом (реагенты), а иа выходе— поток с более низким химическим потенциалом (продукты) плюс потоки тепла через ряд температурных градиентов. Если мы решим не производить какой-либо работы с помощью этих процессов, то все они в результате дают диссипацию. При внешнем возмущении в условиях резонанса существует возможность управления распределением диссипации между разными необратимыми процессами. При резонансе действие малых воз-

вызывдет отклик н форме

(9.59)

Системы под действием периодического возмущения

тН)

325-

3PO

400

800

1200

Рис. 9.7. Сдвиг фаз между температурой реактора T и возмущением P (увеличенным здесь для лучшего сравнения).

Эти кривые были получены численно. Для этюго примера теория предсказывает отставание максимумов P от максимумов Г на малый угол 0,73 радиан, что хорошо согтасуется с расчетом. г " ' "
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 275 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed