Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
б) Относительная ширина полос захвата. Изменение ширины полос захвата прн изменении п и m можно получить прямо из условий (9.21). Для простоты мы рассмотрим случай, когда возмущение b ие зависит от X: запишем ряд Фурье для z0 как
z0 = J00 (<»;/«>„)*"•" О-22)
и ряд Фурье для b[ (h/w)(o0t + б, 0, 0] как
b [ (п / т) (о0т + б, 0, 0] = J00 aj ехр {/ [(In/in) (o11t + 6!]} (9.23) Подстановка их в (9.20) даст следующее выражение для (1)(*): Ф(^) = {п/ш)[а'0-^+^Г<Ґ6] <9'24'
Из соотношения (9.21) находим выражение для интервала частот, иди ширины W(Ii, т), связанной с п/т-п полосой захвата.
W (п, щ) = (п/т) [ max (І,а'„г аІҐ!6) ~
-minf EaJ/-»^"4)} (9-'20)
б \l?-0 J '
Чтобы получит], качественное представление о том, как быстро уменьшается IV с ростом п н т, отметим, что, так как b является кусочно-непрерывной и Z0 имеет более трех непрерывных производных,
|а;|~1/(/ при </->«>, f Ot^ I -< 1/(7"* »Р" <1~г°° (9.26,9.27)
Подставляя выражения (9.26) и (9.27) в (9.25) п аппроксимируя сумму но / интегралом, мы получим грубую верхнюю границу для \\"(п, w):
W (п, т) < I К \lm-rv1 (9.28)
при «, ш-+-ао для некоторой постоянной К. Это выражение качественно объясняет, почему полосы захвата так быстро сужаются с ростом п н т. Этот факт и нежелательное влияние шумов и критического замедления приводят к тому, что реально наблюдается лишь малое число полос при малых а и т.
в) Неединственность угла захвата фазы и вида периодического аттрактора при синхронизации. Вообще говоря, уравнение (9.18) может иметь несколько решений для б на интервале [0,2л]. Уравнение (9.18) является тригонометрическим уравнением вида
O = Uj-O1COS(S) + R1 sin (6) + ? cos (26)+ B2 sin (26) + ... (9.29)
Величины аир зависят от конкретного вида химической системы. Пример одного нз таких тригонометрических полиномов приведен на рис. 9.4 для произвольной системы. Видно, что Ф(6) —(/лг))/(лао) имеет четное число корней, за исключением такого выбора г), при котором два из этих корней становятся вырожденными. Пока пренебрежем возможностью такого вырождения. Обозначим последовательные корпи как 6i,
Рис. 0.4. ХаоактериствчсскнП гармонический полипом, построенный как функция аргумента 6. 1
»ш™;",,гЄІ1,''' »"™Р»але 10. 2лД-ЭТо усы заката фазы. Корн» почт,, пс "ям "с „„тож ,Mi ни i' "3LT"",0"" О» системи Уг,ш ихиггафы» соответствуют полож.ітельним наклоном (как показано штриховыми линиям,,) или отрниа™--'"'
ні.»!?. VM"TO""! кр,,ЮЙ "Р" «мене,™Гч"соотьёг, ^„,„;". ""а,коы больших >. еншком малих: Їі эт находится вне полосы захвата. Впуто. « Л "
:егда
КОРИНЫМ
ОЗМУШе-
паклоном. „„„„„„ „„„ „.,„,,„„„„„ „----ьегстпует изменению частоты во:
----- -------^ .1 эта кривая не п\|еет корней ч систе"'|
которых корт 'iiuno»TJJfZ71Ii niiyT,w полосы захвата возможны такие значения Vi. пР» телы.о. чисто r„,?P" ""х »»•¦"»»« ''""O углов захвата фазы и. елею»"
,нею предельных И.іклов изменяются скачком на 1.
Системы под действием периодического возмущения 343
бг, .... б2„. Лауд [619] показал, что только половина этих коп ней действительно связана с устойчивыми периодическими Pe-шениямп. Это корни, которые удовлетворяют дополнительному
УСЛОВИЮ У
условию
2ят/со0
О > е J z0 (d/dt) Ъ [(п/т) а>0/ + б, X0, 0] dt
(9.30>
Данное неравенство может быть записано также в виде
0 > (2елт/щ) (<Э/с5б) Ф (б) (9.31)
так что, как видно из рис. 9.4, наклон Ф(б) в точках, соответствующих корням, поочередно то положителен, то отрицателен. Таким образом, набор корней, которые соответствуют устойчивым периодическим решениям, является либо набором с четными индексами 62, 64, •. •, &2п, либо набором с нечетными индексами 61, бз, 62/j-i. Каждое б,- в этом устойчивом наборе называется сдвигом фазы при синхронизации, потому что каждый из этих углов соответствует установившемуся сдвигу фазы между невозмущенным решением Хо(соо0 и возмущением, которое было оставлено неопределенным в уравнении (9.11).
На этой стадии решение для Xi является чисто периодическим, как и требуется, и все же оно определено неоднозначно, поскольку не определены коэффициенты Ci. Для этого мы должны сделать так, чтобы выполнялось требование периодичности X2. Для каждого сдвига фазы б, общее решение для X2 имеет вид
X2 = QC, + Q \ О"1 { [(X1 • Vx)2/2] Ї Ix0(Co0X) +
+ (дудХ)[(п/>п)ЩГ + Ьі> X, 0] Ix^X1 +(дЬ/де)[(п/т)^х +
+ 6,, X0, є] Uo - (тфщ) (dXjdT)} dx (9.32)
Снова первая компонента этого вектора является секулярной, если не выполняется
0=2"]%. {[(X1 • Vx)2/2]f Ix, + (db/dX)\(n/m)^r +
0 . .
+ 6,, X, 0]| X1 + (дЬ/дє) [(п/т) со0т + б,-, X0, є] |е_0 -
- (KHy]In^0)(CiX1ZdX)} dx (9.33)
Поскольку б, ,. Ц уже определены, единству
который можно менять, ^бысч,.^ Мнение (9-33)
нулю, является Си входящий в X1. Переписав >t-
так, чтобы зависимость от С\ стала явной, мы имеем
2ят/со0<
0 = с* \ (z0/2)(X0-Vx)2flx=Xo(w)dT +
о
2ят/а>„
+ *, \ «0•{A-Vx)(V-Vx)Hx-X.+