Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
X = f[X, b(e/)] (9.8)
где вектор периодического возмущения b для удобства включен в f. Снова разделяя масштабы времени с помощью переменной T = є/, получаем
{(діді) + є (д/дТ)] X = f [X, b (T)] (9.9)
Определим стационарное решение для 0 = f(X, Ъ(Т)) как XSS(T)*. Если мы запишем решение уравнения (9.9) в виде X = Xsi(T) + вХі (t, T) + е2Х2 4-..., подставим его в уравнение (9.9) п решим полученное уравнение для каждой степени є, чтобы найти асимптотическое по є решение, то в результате получим
X = Xss (T) + гП (/, 7') J (J (/, Т)~' J1TXx (T) dt + О (є2) (9.10)
Матрица ii (1,T) представляет собой любую нетривиальную матрицу решении для линеаризованной системы (по переменной /), вычисленной в XSS(T), а интеграл снова является неопределенным.
Общие свойства решения (9.10) таковы: I) решение является периодическим с периодом 2л/е, за исключением редких случаев, когда ляпуновские показатели матрицы
* Если и этой точке существует более чем одно стационарное решение, то метод многих масштабов времени пе годится, за исключением того случая, когда амплитуда Ь также мала.
-------"--—¦---__,__ЗЗ'З
cW[X, Ь(7-Я/ДХ|х„(Г, вырождены (отметим, что T рассматпи вастся как адиабатический параметр); 2) решение порядка является стационарным решением, полученным „р Pyc,ow , адиабатичпости па Г, и эта медленная зависимость от вое«"м содержит основную часть временной зависимости решения пи-частоте возмущения, стремящейся к пулю. В литературе но мической технологии такое медленное периодическое изменение было названо квазистационарным периодическим процесса < пли жизненным циклом процесса [42] и использовано для описания медленного периодического изменения при МЄДІЄННОМ отравлении и последующей замене катализатора; 3) если одна компонента вектора возмущения b является синусоидой с малой амплитудой, а остальные его компоненты равны нулю, то возмущение и отклик всегда синфазиы с точностью до е°. Этот результат противоположен наблюдаемому для высокочастотных возмущений, где отклик, как указано в предыдущем подразделе, отстает от возмущения иа я/2 радиан. Прн изменении частоты низкоамплитудного синусоидального воздействия от высокой к низкой сдвиг фазы изменяется между этими предельными величинами.
Поскольку возмущение не обязательно мало, периодическое решение (9.10) может также оказаться неустойчивым. Траектории, близкие к этому решению, будут стремиться к нему, если показатели Флоке матрицы
at їх, ъ (DiZdXix^
имеют отрицательные действительные части.
г) Амплитуда возмущения велика. Когда амплитуда возмущения велика, интуиция подсказывает, что асимптотическое решение должно быть периодическим, с периодом вынуждающей силы при любой частоте возмущения. Кроме того, исходная структура певозмущеинон системы, будь то устойчивый узел, фокус, предельный цикл или хаотическая траектория, не должна иметь значения. Это было доказано строго [811] для некоторых специальных химических систем, н примеры, противоречащие этому, не известны; однако это не показано в общем виде для произвольной химической системы. Кроме того, алгоритмы которые действительно дают функциональную форму решения [385 991], имеют тенденцию зависеть от механизма и теб>кэт использования сингулярной теории возмущении для полпенни
""регулярная теория возмущений „™. к системам, к* торыс можно представить в виде X - f(X. », . *Ь системы, требующие использования 'W*P«°" J^6 M(f)l щенин, записываются в виде М(6^nT ,^' содержащая по аналитическая диагональная матрица но е, содер
334
Глава 9, П. Ремус, Дж. P01
крайней мере одни элемент, который стремится к пулю при г-+0 Более полное обсуждение этих результатов мы откладываем до рассмотрения примера в разд. 9.3.3.
д) Узлы и фокусы, дающие при возмущении множественные аттракторы. Если амплитуда малого синусоидального возмуще-ния слегка увеличивается, то могут происходить бифуркации единственного аттрактора в несколько периодических н двух-частотны.х аттракторов [32, 332, 449]. Периодические аттракторы имеют период вынуждающей силы или кратный ему период; в последнем случае отклик называется субгармоническим. Переходы между этими аттракторами породили термин скачок резонанса, а в том случае, когда два периодических аттрактора имеют частоту, равную частоте возмущения, но заметно отличаются но амплитуде, высокоамплптудный отклик называется резонансным, а низкоамплитудный — нерезонансным [449].
Скачки резонанса были первоначально описаны в радиотехнической литературе (см. обзор [32]), в частности для ограниченного круга систем с одной степенью свободы, возмущаемых синусоидальной силой. Ограничение рассмотрения лишь синусоидальным возмущением связано с тем, что для чистой синусоиды задача об устойчивости этих систем может быть сведена [449] к исследованию уравнения Матье:Х + (& + є5іпг)Х XX = O. Всестороннее численное и аналитическое исследование этого уравнения [1021] дает последовательные «зоны устойчивости» периодических решений, которые возникают в некоторых интервалах значений є и k. Аналогия с этими зонами устойчивости уравнения Матье была использована также для объяснения начала каскада удвоений периода, ведущего к хаосу, в химической модели Брюсселятор [485].
