Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
В закрытых системах сохраняются суммарная масса и, возможно, некоторые другие комбинации концентраций. Такие инвариантные величины будут называться кинематическими инвариантами, причем все они имеют вид {Q/, c(t)) = (Qj, C0) для
Глаиа I, А'. Отмер
,•которого S) є Я». Эти инварианты определигот_пеоднородііое ннсЛігое многообразие, пересечение которого о III называется спи пенсом реакции и которое мы будем обозначать U(C0). Инвариант связанный с суммарной массой закрытой системы, имеет строго положительную область значении, откуда следует, что многообразие U(Co) компактно. Из теоремы Брауэрн о неподвижной точке следует, что всегда имеется хотя бы одна стационарная точка [992]. В общем случае открытой системы суммарная масса смеси не сохраняется, н поэтому для доказательства существования такой подход использовать нельзя. Действительно, можно показать, что, когда в сети имеется хотя бы один н\Л|,-комнлскс, не существует строго положительного инварианта и H(Co) не может быть компактным [755]. В результате задача о существовании стационарных состоянии оказывается намного сложнее. Ниже приводятся два утверждения, имеющие отношение к данной проблеме. В них будет использоваться следующая терминология. Неориентированный путь в G — это открытая последовательность ребер, в которой все вершины различны. Ориентированный путь — это путь, на котором все ребра проходятся в направлении их естественной ориентации. Граф называется связным, если каждая пара вершин связана каким-либо путем. Компонент графа G1SG — это связный подграф, к которому нельзя добавить ни одного нового ребра нз принадлежащих графу G, не нарушая связности этого подграфа. Граф G называется сильносвязным, если для каждой пары вершин (V;, V1) имеются направленные пути от Vi к V1 н обратно. Ориентированный цикл — это замкнутый ориентированный путь.
Теорема 1 [755]. Пусть G- граф сети реакций с р комплексами, г реакциями н q компонентами. Тогда потоки, отвечающие стационарным состояниям, имеют следующие свойства:
1) если в G нет ориентированных циклов, то пет н строго отрицательных сбалансированных потоков;
2) положительный сбалансированный поток (Л (с) > 0 V І) существует тогда н только тогда, когда каждый компонент G3 графа G является сильносвязпым;
"Jd6°\ '^отрицательный сбалансированный поток ("¦•(с) З* О V/) можно представить в виде P(c)=BTw, где строки матрицы В представляют независимо ориентированные циклы графа G, а компоненты а'/ —всей, связанные с этими циклами. Часто правые части кинетических уравнений имеют вид полиномов, определяемых законом действующих масс:
Р,(°) = М/(С) = *//П сУ (1.3)
Однако более общий класс кинетических уравнений возникает
и системах, которые мы называем вершинно-контролируемыми. В этих системах скорости зависят только от концентраций частиц, составляющих комплекс реагентов (но не продуктов). Тогда если ребро (/'і, її) помечено индексом і, то dP,/dCj 52 0 при условии, чю индекс / не относится к частице, входящей в комплекс /і, Пели, например, каждый комплекс состоит из одною вида частиц, то можно доказать следующее утверждение.
Теорема 2 [755]. Пусть G — граф сети с р комплексами, q компонентами и г реакциями. Положим, что
1) каждый комплекс содержит в точности один компонент, зависящий от времени, и что комплексы линейно независимы;
2) Pі (с) являются неотрицательными, строго монотонно возрастающими функциями концентрации компонентов, которые составляют комплексы реагентов и зависят от времени, и пусть Я,(0)= 0.
Тогда:
1) симплекс Q(fo) компактен и инвариантен по отношению к (1.2);
2) в стационарном состоянии поток сбалансирован, а стационарное состояние единственно и глобально устойчиво по отношению к Q(C0).
Можно показать, что если к такой сети приложена внешняя Г-пернодпческая сила F(t), сохраняющая инварианты в том смысле, что (Qj, F(t)} = 0 для / = 1, s, то система (1.2) имеет единственное периодическое решение периода Т, и все остальные решения при /-*- со сходятся к нему. Было бы желательно уметь описывать с такой полнотой поведение любой реакционной системы, однако это сделано только для нескольких частных случаев [289, 956]. В настоящее время мы вынуждены довольствоваться меньшим, и это обычно означает поиск инвариантных множеств, определение их структуры и устойчивости и, возможно, анализ потоков между самыми простыми инвариантными множествами. Прежде чем перейти к этому, нам необходимо ввести терминологию теории динамических систем.
1.1.2. Некоторые основные концепции теории динамических систем
Рассмотрим параметризованное семейство автономных дифференциальных уравнений
dx/dt = f(x, р) (1.4)
где .V є M s R11 и pePsRm. Так как система (1.4) может описывать эволюцию па симплексе Q(C0) во внутренних координатах, то M может быть любым подмножеством множества Rn. Часто функция f представляет собой полином или рациональную функцию без особенностей на Af, и везде далее мы
будем полагать, что функция /: MX P-* Rn гладкая. Система дифференциальных уравнений определяет параметризованное семейство векторных полей
