Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предполагается, что при е = 0 невозмущенная система рс-лаксирует к стационарному состоянию Xss и релаксация произвольных начальных условии, близких к Xss, может быть записана приблизительно как вектор Йс, где Q — матрица, которая приближается к пулю экспоненциально при і ->- оо, а с — постоянный вектор [1021]. При изменении констант скорости в функции f [уравнение (9.1)] в редких случаях времена релаксации могут быть вырожденными. В этом случае соответствующие экспоненциальные члены в качестве множителей будут иметь полиномы по t.
B дальнейшем матрица Q будет использоваться довольно часто; оиа представляет собой любую нетривиальную матрицу решений линеаризованной системы:
6Х = (df/dX | ) 6Х (9.2)
Устойчивое асимптотическое периодическое решение возмущенной задачи (9.1) может быть записано в виде [155, 660, 684, 1021]
X = Xss 4- еО j Q-'b Ц/. Хм, 0)dt + O {є2) (9.3)
При взятии интеграла в уравнении (9.3) ие появляется дополнительных констант; члены порядка е и выше являются периодическими с частотой (о> Для достаточно малого в этот ряд равномерно сходится; основной эффект возмущения содержится в члене порядка е. Оценка радиуса сходимости этого ряда может быть получена нз обсуждения, проведенного Минорскпм [660, гл. 9.4].
До спх пор мы пс делали различий между случаями, когда иевозмущенная система находится в устойчивом узле или устойчивом фокусе. Если устойчивая иевозмущенная система имеет комплексное собственное значение —а -\- /р (соответствующее фокусу), то в выражении (9.3) появляются периодические члены с коэффициентами вида
~ єа/[а2 + (P- to,,)=] (9.4)
Этот множитель имеет локальный максимум при р = м,„ где собственная частота равна частоте возмущения (резонансный отклик). Если к тому же мы находимся вблизи границы устойчивости (вблизи бифуркации Хопфа), то а мало н амплитуда растет при а->-0. Когда наблюдается рост амплитуды вблизи
границы устойчивости [812, 920], расходимость по амплитуде не имеет места, потому что радиус сходимости ряда (9.3) также стремится к нулю при а->-0 [812]. При фиксированном є в выражении (9.3) необходимо взять больше членов, чтобы получить хорошее приближение для возмущенного решения вблизи границы устойчивости.
Ряд (9.3) получен методом теории возмущений благодаря слабой нелинейности задачи, которая решается в рамках метода Пуанкаре— Ляпунова. Однако для малых возмущений устойчивого узла или фокуса имеются другие методы, особенно для систем с одной степенью свободы. Среди них достойны внимания методы усреднения [92], которые учитывают усредненные эффекты слабых нелннейностей. Ряды, к которым приводят эти методы (нх обзор дан в работе [660] ), являются асимптотически, а не равномерно сходящимися по е.
б) Частота возмущения велика. Когда частота возмущения велика по сравнению с обратными временами релаксации не-возмущешюн химической системы, математическая задача может быть записана в виде
X = V (X) + b (і/в, X) (9.5)
Вектор F в общем случае отличается от невозмущенного вектора f, так как физическое возмущение может быть достаточно велико, чтобы вызвать изменение в f, которое ие зависит явно от частоты возмущения 1/е. Каждый член в b зависит явно от этой частоты. Если V = O имеет стационарное решение Xss. то метод многих масштабов времени [152, 684] дает периодическое решение полной системы (9.5), которое является асимптотическим по є на ограниченных интервалах времени. Введем новую переменную T = t/г, выразим дифференциал d/dt как д/dt + + (І/є) (д/дТ) и запишем решение полной системы в виде Х55 + еХ,(/, T) +R2X2(I, T)+ ... . Подстановка этих величин в (9.5) и решение уравнений для каждой степени е дает периодическое решение
X = x;s + є [с + Jj ь (г, x;s) rfr] + a ^) (9.6)
Снова интеграл в (9.6) выбран так, что вектор постоянных интегрирования равен пулю. Вектор С (содержащий и компонент) выбран так, чтобы а секуляриых членов порядка е2 обращались в нуль. В явном виде С выражается следующим образом:
с = -[(йг/ах !Х'у'/2л] f (<л>/ахіхд[$ь(т, х,,)</г]</г (9.7)
Перечислим некоторые особенности выражения (9.G): 1) решение является периодическим с частотой, равной частоте внешнего
332
Глапа 9. /7. Ремуг, Дж. Росе
воздействия; 2) при увеличении частоты решение сводится к возмущенному стационарному состоянию Х„. Это решение отражает «усредненное» действие возмущения, по не явную зависимость от Г, її в литературе по химической технологии оно получило название релаксированное стационарное состояние [42]; 3) зависящий от T отклик порядка є является интегралом от Ь.Для векторов Ь, включающих только первые гармоники по Т, максимумы откликов всегда отстают по фазе от возмущения на л/2 + 0(e) радиан.
Поскольку возмущение не обязательно мало, периодическое решение (9.6) может пе быть устойчивым. Однако траектории, близкие к этому решению, будут стремиться к нему, если показатели Флоке матрицы
а [Г (X)+ Ь (Г, X)] І с»х Ix-
имеют отрицательные действительные части [155].
в) Частота возмущения мала. Когда частота возмущения мала, кинетическое уравнение сводится к виду
