Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если є мало, то возмущение почти на всех частотах слишком слабо, чтобы преодолеть естественное стремление системы колебаться с собственной частотой со0. В этом случае отклик является двухчастотным с основными частотами сор и со0 + О(є2). Однако частотные компоненты спектра вокруг со0 и ее гармоник являются по существу компонентами невозмущенной системы. Даже когда є мало, все еще возможен захват системы возмущением в некоторых узких интервалах частот. Эти узкие интервалы, в которых наблюдается захват частоты (см. узкие язычки, прилегающие к оси сор/со0 на рис. 9.3), называются полосами захвата. Можно показать, что эти полосы имеют характерную форму, заостряющуюся при е-*0. Каждое острие пересекается с осью сор/coo при частоте возмущения, определяемой отношением cop/coo = R, где R — рациональное число.
Использование аналитических методов эффективно для предсказания поведения системы при малых и больших е. При промежуточных значениях є, где их применение сомнительно, могут появиться новые интересные режимы, как видно из рис. у.о. Может происходить перекрывание полос захвата или перекрывание полосы захвата с двухчастотным режимом. Ь этих слу чаях одни начальные условия приводят к одному типу рассмотренных траекторий, а другие условия-к другому типу іакое поведение указывает на существование множественных аттракторов в возмущаемой системе, тогда как в невозмушеннои
И*
1/3 1/2 Z/3 1 3/2 2 3
Рнс. 9.3. Типы траекторий, которые могут появляться при действии синусоидального возмущения частоты <оР на предельный цикл с частотой и0.
Для разных ампл.ітуд и частоты возмущен.ш в)р траектории могут быть периодическими, знухчастогнымн или хаотическими. Периодические траектории лежат в областях, насыпаемых полосами захвата (разделенных здесь по их частотам), которые приближаются к абсциссе узкими язычками. Хоти показано только несколько полос захвата, обычно их существует бесконечное множество в в іде «пузырьков> с язычками, касающимися абсциссы при рациональных величинах в>р/в>0- Двухчастотные траектории появляются в перекрестно-заштрихованной области. Хаотические траектории показаны существующими в черной ючке, окруженной концентрическими областями «удвоения псриода>. Возмущение может приводить к появлению областей множественных аттракторов, в частности: I) область с двумя периодическими аттракторами с разными частотами, обозначенная буквой а, появляется при пересечении двух полос; 2) периодический и даухчастотнЫн аттракторы сосуществуют в области пересечения, обозначенной ft. Хаос н множественные аттракторы — это явления, возникающие при промежуточных амплитудах возмущении, тогда как ир.( достаточно больших амплитудах система отвечает с частото;! внешнего во !действия.
системе имеется только один аттрактор. Хаос также может появляться в неавтономной системе при некоторых частотах. Хаос, рождающийся через последовательность бифуркаций удвоения периода (соответствующая структура на рис. 9.3 похожа на «бычий глаз»), наблюдался в некоторых химических моделях при промежуточных значениях є 1935].
9.1.3. Резонансный отклик
Внутри полосы захвата отклик переменных является более сильным, чем вне этих полос, и этот усиленный отклик и есть резонанс. Функции переменных, такие, как скорость диссипации (связанная со скоростью производства энтропии), также имеют резонансные отклики внутри полос захвата, причем самый сильный отклик наблюдается в основной полосе (при о)„/а0=1. см-рис. 9.3). "
9.1.4. Особенности захвата при периодических возмущениях общего вида
Рассмотрим вместо простого синусоидального возмущения периодическое возмущение общего вида, действующее на колебательную систему. Типы откликов, которые могут возникать в зави-
сммостн от амплитуды и частоты „„,„„„.
более сложны, чем" ириведешше а рис с! f О °°бЩе Г0Воря' не „ос возмущение может ^??? подполосы. Число ноднолос может быть доводь Гбольшим О. на полоса отличается от другой числом нериоди скнх аттракто" ров •: в одной подполосе может быть семь различных периодиче екпх аттракторов, в другой - четыре, в следующей-™ ITl Если это число равно, например, двум, то в зависимости от начальных условии траектория может прийти к отному ити доу-гому предельному циклу. ' "
9.1.5. Фазовые переходы в возмущенных системах
В предыдущих разделах были упомянуты ситуации, когда в виъ мущеинон системе имеется более одного аттрактора. Флуктуации могут перебрасывать систему через сепаратрису от области притяжения одного аттрактора к области притяжения другого. При этом некоторая наблюдаемая переменная, называемая параметром порядка (например, амплитуда колебаний концентрации, средняя температура или сдвиг фазы колебаний), изменяется скачком. Такой отклик наблюдаемой величины напоминает фазовый переход первого рода, знакомый нам из равновесной термодинамики.
Фазовые переходы более высокого порядка также наблюдаются в возмущаемых системах. В общем случае времена релаксации на границах полос захвата расходятся. Это критическое замедление сопровождается ростом низкоамплитудных компонент на второй основной частоте, которая появляется, когда система переходит от синхронного к квазнпернодическому режиму при изменении бифуркационного параметра — частоты возмущения. Такое поведение качественно подобно фазовому переходу второго рода. Однако тщательное исследование этого вопроса проведено не было.
