ЯМР в одном и двух измерениях - Эрнст Р.
ISBN 5-03-001394-6
Скачать (прямая ссылка):
В практической спектроскопии ЯМР общепринято другое определение отношения сигнал/шум, которое отличается множителем 1/2:
0 В случае квадратурного детектирования At — интервал между выборками, со-чоящк;.;;; «з комплекси"* пар 5,(() + isv(f). 4.3. Чувствительность фурье-спектроскопии
191
Этот множитель не существен для относительных чувствительно-стей и не будет приниматься во внимание.
Пользуясь выражениями (4.3.5), (4.3.9) и (4.3.11), находим отношение сигнал/шум спектра
Полное время, необходимое для накопления п сигналов, составляет
здесь T— интервал времени между импульсами основного фурье-эксперимента (Г > ?тах).
С целью получения общего выражения для стандартной чувствительности фурье-эксперимента удобно ввести отношение сигнал/шум B единицу времени S/(<JNTnom):
В дальнейшем эту величину будем называть чувствительностью. Таким образом, необходимо оптимизировать отношение средней амплитуды взвешенного сигнала sh и среднеквадратичной амплитуды весовой функции [Иг]1/г. В выражении (4.3.17) коэффициент tmax/T отражает скважность работы приемника в течение эксперимента.
4.3.1.4. Оптимизация весовой функции
Оптимальная весовая функция h(t) должна давать наибольшее отношение в выражении (4.3.17). Используя выражения (4.3.4) и (4.3.10), наилучшую весовую функцию можно найти, оптимизируя выражение
(4.3.15)
ПОПН — '»* >
(4.3.16)
(4.3.17)
(4.3.18)
здесь X —множитель Лагранжа. Применив вариационный метод [4.125] и взяв функциональную производную по h(t), получим опти- 192
Гл. 4. Одномерная фурье-спектроскопия
мальную весовую функцию hm(t):
hm(t) = se(t). (4.3.19)
Эта функция называется согласованной весовой функцией и позволяет получить максимальную чувствительность. Согласованная фильтрация имеет огромное значение в обработке сигналов [4.2, 4.7, 4.8, 4.25].
Найдем чувствительность при согласованном взвешивании:
(~§т) = ; (4-3-20)
\ONl полн/ corn \ 1 / рп
здесь (maxZT—скважность приемника, a S1 — средняя мощность сигнала в окне выборки:
1 rtm"
^ = :^ s\tfto. (4.3.21)
і J о
Выражение (4.3.20) определяет главный и общий вывод о том, что максимально достижимая чувствительность в единицу времени равна корню квадратному из отношения средней мощности сигнала S2ImaxZT и мощности шума в единичной полосе qI [4.2, 4.7, 4.8]:
[S 1 _ Г_Мощность сигнала_
алг^Ісогл [Мощность шума в единичной полосе
Можно понять действие согласованного взвешивания исходя из следующих соображений. «Локальная чувствительность» изменяется от точки к точке вследствие спада огибающей сигнала. При согласованном взвешивании каждая точка взвешивается своей собственной чувствительностью, так что точки с наибольшей чувствительностью дают наибольший вклад во взвешенное среднее.
4.3.1.5. Оптимизация энергии сигнала
Рассмотрим однородно уширенную линию, которая описывается классическими уравнениями Блоха, причем огибающая сигнала имеет вид простой экспоненты (4.3.6). Средняя мощность S2 дается выражением
^ = Je(O)2^5 [1-Я!], (4-3.22)
в котором E2 = ехр (- /тах/Т2). [Заметим, что зто определение отличается от данного в разд. 4.2.5, где E2 = exp(-TZT2).]
В разд. 4.2.4 мы показали, что начальная амплитуда сигнала Se(O) зависит от Ti, угла поворота импульса ? и периода повторе-
1/Z
.(4.3.20а) 4.3. Чувствительность фурье-спектроскопии
193
ния импульсов Т. Вообще говоря, резонансную частоту ыо тоже надо учитывать, поскольку она определяет эффект поперечной интерференции (разд. 4.2.5). Здесь мы не будем учитывать эффекты поперечной интерференции, так как остающаяся к концу интервала свободной прецессии T поперечная намагниченность может быть разрушена с помощью одного из методов, описанных в разд. 4.2.6. Тогда начальная амплитуда 5е(0) дается выражением (4.2.35). При оптимальных углах поворота
cos?onT = E1 = Cxpi-TZT1), (4.3.23)
показанных на рис. 4.3.2, начальная амплитуда достигает макси-
мального значения _ ,
1 - ?,п -
Se(O)max = M0
2
(4.3.24)
.1 + E1]
В экспериментах с большой частотой повторения импульсов требуются малые углы поворота для получения максимальной амплитуды сигнала.
Оптимальную чувствительность можно вычислить из выражений (4.3.20), (4.3.22) и (4.3.24):
Ш» = ^1)^(1-^(777,)^ > (4.3.25) где функция
Gix)
1-е '
(4.3.26)
jc(l +e-*)J
описывает влияние периода повторения T в предположении, что время наблюдения Jmax [и, как следствие, Е\ = ехр (-2ґтах/Гг)] не изменяется. Функция G(TZTi) стремится к единице при T < Ti, как
90
. 60
о со.
30
......і-.-.————і--—
0.1 0.3 1 3
Т/Т,
Рис. 4.3.2. Зависимость оптимального угла поворота импульса ?om от отношения интервала между импульсами T и времени спин-решеточной релаксации Ti. (Из работы [4.1].)
309— 13 194
Гл. 4. Одномерная фурье-спектроскопия
Рис. 4.3.3. Функция G(TZTi), определяемая выражением (4.3.26), которая описывает зависимость чувствительности от интервала T между импульсами при условии, что угол поворота за счет РЧ-импульса оптимизирован в соответствии с выражением (4.3.23) и период регистрации fmax сохраняется постоянным. (Из работы [4.1].)
