ЯМР в одном и двух измерениях - Эрнст Р.
ISBN 5-03-001394-6
Скачать (прямая ссылка):
efieA = ехр{А + В + l[B, А) + [В, А]] + [[В, А, )А)) + . . .}
(3.2.6)
дает для двух последовательных интервалов времени п, т2 явное выражение для Jf'(tc):
X(tc) =— (-^X1T1 + X2T2) — ^[X2T2, X1T1] +
+ Мі[Х2т2,[Х2т2, X1T1]] +
+ №Т2, X1T1], X1T1]) +
+ ...}. (3.2.7)
Для коммутирующих гамильтонианов = 0 мы имеем точ-
ный (и очевидный) результат:
Xitc) = - (X1T1 + X2T2). (3.2.8)
'с
Аналогичные выражения можно также получить и для кусочно-постоянного гамильтониана, изменяющегося п — 1 раз на интервале tc= T1 + T2+ T3 + ... + Tn, Л"= MSf, T1; JSit T2; ту,... )• Средний гамильтониан можно разбить на вклады различных поряд- 3.2. Теория среднего гамильтониана
103
ков [3.8]:
Ж(и) = ^ + т + Х^ + ..., (3.2.9)
причем
X^ = - {sif1t1 + X1Tr +... + Х„т„},
= -±{[ж2Т2> ад + [X3T3, X1T1] + [X3X3, X2T2] + ...}, {[Х3т3, [X2T2, X1T1]] + [[X3T3, X2T2], X1T1] +
Ofc
+ HX1T2, [X2T2, X1T1]] + ЩХ2 т2, X1T1], X1T1] + ...}. (3.2.10)
Для более формальных расчетов пропагатор U(tc) можно записать в простом виде
U(U) = схр{-іХптп} . . . ZXvi-XX1T1) = T exp{-i? XkTk
= ехр{—xXtc). (3.2.11)
Здесь T — времяупорядочивающий оператор Дайсона [3.27, 3.28], который расставляет во времени в порядке его убывания операторы с различными временными аргументами в произведении операторов. Действие оператора T определяют следующие соотношения:
TiXitmt2)) = I^wrn T I1 <t ' (3'2Л2)
I X(I2)Xit1) для t1<t2.
Действие времяупорядочивающего оператора T на экспоненциальные функции в (3.2.11) можно записать в явном виде с помощью разложения экспонент в степенные ряды и упорядочения во времени коэффициентов при различных членах разложения. Таким путем можно также проверить выражения (3.2.9) и (3.2.10).
Выражение (3.2.11) нетрудно обобщить на непрерывно изменяющиеся гамильтонианы, что приводит к пропагатору
U(U)
= Гехр{-і|С(ітвд} = ехр{-і^с}. (3.2.13)
Разлагая эту экспоненту и собирая члены одинаковых порядков, получаем окончательно следующие выражения для различных порядив среднего гамильтониана Jf(tc), которые аналогичны выражени-(3.2.10): 104
Гл. 3. Преобразования ядерных спиновых гамильтонианов
ЖW = - Tdt1X(I1),
(3.2.14)
(3.2.15)
Pdf3 Pdf2 Pdf1(W3), [X(t2), Xit1)]] +
Jo Jo Jo
+ [[X(t3), X(t2)], X(tl)]}. (3.2.16)
Это выражение известно как разложение Магнуса [3.8, 3.29, 3.30]. Оно служит основой теории среднего гамильтониана.
3.2.3. Усреднение с помощью зависящих от времени возмущений
В этом разделе мы обсудим ситуацию, в которой исходный не зависящий от времени гамильтониан видоизменяется с помощью зависящего от времени возмущения <%Л (/). Возмущение следует выбирать таким образом, чтобы оно не входило явно в результирующий средний гамильтониан. Типичными примерами могут служить спиновая развязка, многоимпульсные эксперименты и вращения образца. В этих случаях полный гамильтониан состоит из зависящей и не зависящей от времени частей:
где ^o — невозмущенный гамильтониан, а ЖЦ) — специально введенное возмущение.
Используя выражение (3.2.13), общий пропагатор U(t) можно записать следующим образом:
Теперь мы попытаемся разделить действия гамильтонианов Ж и M(t) и представить пропагатор в виде двух сомножителей:
Ж(і) = Ж{) + Жх(і)
(3.2.17)
1O
(3.2.18)
где
U(I)=U1(I)U0(I),
(3.2.19)
(3.2.20)
(3.2.21) 3.2. Теория среднего гамильтониана
105
Здесь U1 (t) зависит только от возмущения Jf(Z) и отражает его прямое воздействие. Jg (!) — гамильтониан в зависящем от времени представлении взаимодействия, определяемом возмущением Jf1 (t); этот гамильтониан нередко называют гамильтонианом в следящей системе координат-.
ЗД = ?/Г'(0ЗД(0- (3.2.22)
Особый практический интерес представляют случаи, когда возмущение JH (t) является периодической функцией времени с периодом tc'.
X1(I^ntc) = X,(0 для л =0, 1,2, . . . (3.2.23)
и когда, кроме того, Jfi (t) имеет циклический характер в том смысле, что
= (3.2.24)
Таким образом, Jfi(t) не влияет непосредственно на эволюцию системы за полный цикл.
При этих условиях гамильтониан Jfa (t) в представлении взаимодействия становится также периодическим, и мы имеем простой пропагатор для одного цикла:
U(tc) = U{)(tc) (3.2.25)
и для п циклов:
U(ntc) = Uo(tc)n . (3.2.26)
Если стробоскопическое наблюдение временной эволюции производится синхронно с периодическим возмущением Jfi (t), то наблюдаемая временная эволюция a(t) описывается только пропагатором Uo(tc).'
В заключение выразим пропагатор U0 (tc) с помощью среднего гамильтониана Jfa в соответствии с выражением (3.2.13):
t/o(fc) = exp{-i^,fc}.
Используя разложение Магнуса [выражения (3.2.14)—(3.2.16)], находим главный результат теории среднего гамильтониана
% = + йу> + . . . , (3.2.27)
причем
^о0) = 7 Cdt1X0(I1), (3.2.28)
«с Jo
^ = 5Г Г d'2 Г %>(Ь)Ь (3.2.29)
^1C Jo Jo 106
Гл. 3. Преобразования ядерных спиновых гамильтонианов
^o2'= -77 Г At3 Pdf2 Г dt, {[ЩЬ), [Ж0(і2), Щг,)]] +
Ofc Jo J0 J0
