Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Еремин В.В. -> "Основы физической химии" -> 137

Основы физической химии - Еремин В.В.

Еремин В.В., Каргов С.И.,Успенская И.А.,Кузьменко Н.Е. Основы физической химии — М.: Экзамен, 2005. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovfizhim2005.pdf
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 154 >> Следующая

d ax ax
— e = ae dx
430
Приложения
а, 1
— 1п х —
ах х а
— Б1п(ах) = а соБ(ах) ах
а
— соБ(ах) = -а Б1п(ах) ах
Производная сложной функции: -Т [ * (8 (х))) = ОТ* (8) • "Г8 (
ах ат ах
Производные функции нескольких переменных
Частная производная функции*х, у) по переменной х:
х \дх) Ах^0 Ах
Частная производная по одной из переменных рассчитывается при постоянных значениях всех остальных переменных. Частные производные также являются функциями нескольких переменных.
Свойства частных производных:
1) [д) г = [Их ^ у+ [ду] х [ах
2) [Оу Л = 1
ох ) г [ дх
3) I — I I — 1 [ — I =-1 (цепное соотношение Эйлера) Вторые частные производные:
дх 2
о2 / = д_[ д
] чистая вторая производная
дх [ дх ,
2
I О I — I
— = — I — I - смешанная вторая производная
дудх ду [ дх ) у
Соотношение взаимности: смешанные частные производные дважды дифференцируемой функции равны друг другу независимо от порядка
о 2 г о 2 *
дифференцирования: -=-.
у х х у
Полный дифференциал функции двух переменных:
а*=[ I) ;1х+[—у)
Выражение М(х, у)Ох + N(х, у)ау является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных в том и только в том случае, когда
[ —у )х ~[ Ох,
Приложения
431
Интеграл
Если F'(x) = f (x), то функция F(x) называется первообразной для функции f(x).
Неопределенный интеграл
J f (x)dx = F (x) + C, где C - постоянная интегрирования
Свойства неопределенного интеграла
1. Интегрирование и дифференцирование - взаимно обратные операции:
J ^ dx = g (x) + C dx
j- [J f (x)dx ] = f (x)
2. Интегрирование - линейная операция:
J [af (x) + bg (x)] dx = a J f (x)dx + bJ g (x)dx, где a и b - константы
3. Интегрирование по частям:
J f (x)g'(x)dx =f (x)g(x) - J f'(x)g(x)dx
4. Простейшие неопределенные интегралы
r xn+1
Jxndx =-+ C (n
J n +1
r-^fc^=ln i + a+c
x+a
ax
J eaxdx = — + C J a
r- . cos(ax)
I sm(ax)dx =---+ C
a
r- sin(ax)
i cos(ax)dx =--+ C
a
J ln( x)dx = x ln x - x + С
Определенный интеграл
b
J f (x)dx = F(b) - F(a), где a и b - пределы интегрирования
a
Свойства определенного интеграла
1. При перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак:
ba
J f (x)dx = -J f (x)dx
ab
2. Определенный интеграл - линейный функционал:
bb b
J [cf (x) + dg (x)] dx = c J f (x)dx + d J g (x)dx (c, d = const)
aa a
3. Область интегрирования можно разбивать на несколько частей:
bc b
J f (x)dx =J f (x)dx + J f (x)dx
aac
432
Приложения
4. Замена переменных:
Ь и(Ь)
5.
ЬЬ
аа
6.
/(х)йх = I / [х(и)] — йи
•* Пи
и ( а)
йи
Интегрирование по частям:
/(х)Я'(х)йх = /(х)я(х)\Ьа -1 /'(х)я(х)йх
Некоторые определенные интегралы
е~ас йх = - (Яе а > 0)
х2пе~ах2йх = }—-(Яе а > 0) \а 2п ¦ ап
х2п+1е~ах2 йх = -П— (Яе а > 0) 2а п+1
е "ахйх =
хпе ~ахйх--
п!
(п > 0)
бш2 (пх)йх = | соб2 (пх)йх = — (п - натуральное число)
0 0
е ах соБ(Ьх)йх --
е аах $\п(Ьх)йх -
а2 + Ь2
а2 + Ь2
(а > 0)
(а > 0)
Разложение в ряд Ряд Тейлора:
/(х) = ? /^а)(х- а)п
п=0 п!
Ряд Тейлора-Маклорена: / (х) = ? ^ хп
Степенные ряды
Линейное приближение
п=0
п!
Элементарные функции:
ех = У —
п=0 п!
яп х = У (-1)п
2п+1
п=0
(2п+1)!
/(х)~ /(а) + /'(а)(х - а) /(х)~ /(0) + /'(0)х
ех ~1 + х
х ~ х
1
а
п+1
а
Приложения
433
cos х = V (-1)п- cos х ~1
п=0 (2п)!
k k!
(1 + х)k = V---хп (1 + х)k ~1 + kx
п=0
n!(k - п)!
— = У х„ -1--1 + х
1" х „=0 1" х
1п(1 + х) = У (-1) "+1 — 1п(1 + х) ~ х
»=1 „
Равномерно сходящиеся степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать:
^ / (и)(0) „„ ^ / (и)(0) .^ _ ^ / (т+1)(0)
Лf(х) =Л хп = хп-1 - V-
dx ахп=о п! п=1 (п -1)! m=0 m!
dd °° х 2п+1 00 х 2п
Пример: ^sm х = ^ Vп тЩ^Т = V" х
х
-ми л —- / 1 — 1) -— / 1 — 1) -
dx dxn=0 (2п +1)! п=0 (2п)!
( °° f (п)(0) ^ °° f (п)(0)
cos х
п=0
Пример: f — = fV x'ldx = V — + C = -ln(1 - х) + C
1-хп=0п=0п+1
Раскрытие неопределенностей 0/0
Если f х) = p(x) / q(x), где p(x) и q(x) непрерывны и дифференцируемы нужное число раз, и если p(a) = q(a) = 0, то
lim Ж = iim ,
x^a q(x) a q (x)
если этот предел существует.
Доказательство основано на линейном разложении функций p(x) и q(x)
в ряд вблизи точки a:
l' Р( х) i> p(a) + p '(a)( x - a) i_ p '(a)( x - a) p '(a) x^a q(x) x^a q(a) + q'(a)(x - a) x^a q''(a)(x - a) q''(a)
ax bx ax l bx
e — e ae — be Пример: lim-= lim-= a - b
Дельта-функция
Дельта-функция, или функция Дирака 5(х) определяется условием:
J f (х)5(x)dx = f (0),
где fx) - произвольная функция, непрерывная в нуле.
Из определения следует, что дельта-функция равна 0 при всех х, кроме х = 0, где она имеет бесконечно большое значение, такое, что
J 5(x)dx:
434
Приложения
Дельта-функция представляет собой производную от ступенчатой функции Хевисайда:
5( х) = --Н (х),
ах
где Н (х) =
[0 при х < 0
1 при х = 0 2
1 при х> 0
Свойства дельта-функции
1
1) 5(ах) = — 5(х), а > 0
а
2) 5(-х) = 5(х),
3) / (х)5( х) = / (0)5( х),
4) 5( / (х)) = У 1 5( х - х,), где х,- - корни уравнения /х) = 0.
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed