Перенос ионов в мембранах - Заболоцкий В.И.
ISBN 5-02-001677-2
Скачать (прямая ссылка):
решения системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона совместно с условием
КРЗ. В явном виде это решение в зонах [0, XJ, [Хь Х2] и [Х2, Х3]
представлено соответственно формулами (6.109), (6.113) и (6.111). Мы уже
убедились выше, что это решение хорошо приближает в этих зонах точное
решение. В то же время функция Е(Х) не отслеживает резкого роста
напряженности поля в квазиравновесной погранслойной области [Х3, 1] (на
рис. 6.25 график функции ?(Х) в этой области показан штриховой линией).
Далее, следуя алгоритму, предложенному в подразделах 6.8.3 и 6.8.4,
нетрудно найти распределение концентраций и плотности пространственного
заряда. Очевидно, решение для Cj и ре, отвечающее
условию КРЗ, будет, как и ?, хорошим приближением для точного решения в
зонах [0, XJ, [X], Х2] и [Х2, Х3], но не будет отслеживать резкий рост С+
и ре в пограничной зоне (на рис. 6.26 и 6.27 приближение, отвечающее
условию КРЗ, в зоне [Х3, 1] показано штриховыми линиями). Этот резкий
рост обязан наличию экспоненциальных членов в формуле (6.120). При
отбрасывании величины ехр(р-р\) в формуле (6.120) получим медленно
меняющуюся функцию
p, = C+(X,e)=/Vi72/V7x^2, Х2 " Х3, (6.132)
отвечающую функции ?(Х,ё) и, следовательно, удовлетворяющую условию КРЗ.
Нетрудно видеть, что (6.132) превращается в (6.122) при X = 1.
Необходимо обратить внимание на то, что условие КРЗ позволяет точно
описать локальный максимум плотности пространственного заряда. И вообще,
сравнение точного решения и решения, отвечающего условию КРЗ, позволяет
лучше понять, в каком смысле следует понимать малость скорости изменения
плотности пространственного заряда ре. В самом деле, "позонное"
аналитическое решение показывает, что не только ре> но также С+ и Е на
отрезке [Х2, 1] являются суперпозициями медленно и быстро меняющихся
функций по координате X (формулы (6.114) и (6.120)). Таким образом,
условие (6.131) означает, что учитывается только медленно изменяющаяся
часть этих функций, и, следовательно, условие
328
Рис. 6.29. Зависимость скачка потенциала в квазиравновесном погранслое от
суммарного скачка потенциала в диффузионном слое [107]
Сплошная кривая рассчитана путем интегрирования "точной" функции Е(Х),
штриховая линия - расчет по соотношению (6.134) с применением соотношения
Доннана для учета вклада быстро изменяющейся составляющей Е(Х)
15
ГО
О
50
/ОО
/50 200ДФ
КРЗ не позволяет описать вид этих функций в погранслойной зоне [Х3, 1].
Рассмотрим более подробно эту зону. Выше уже отмечалось, что хорошее
приближение к решению уравнений (6.94)-(6.96) в этой зоне получается,
если положить / dCJdX, С+Е. Это означает, что в погранслойной области
функции С+ и Е (точнее, их быстро изменяющиеся составляющие) ведут себя
по тому же закону, что и в случае нулевого тока, т.е. эта область
является квазиравновесной. Если это действительно так, то к этой области
можно применять локальные соотношения Доннана. На рис. 6.29 представлены
значения скачка потенциала в этой области, рассчитанные по формуле 1
д^(|)=-| Е{ХЛ)dx (6.133)
х,
(где Е(Х,Ъ) находится по "точной" формуле (6.114), &Х5- точка, где С+
достигает своего минимума), и по соотношению Доннана
А%(2, = -} ?(X,e)dX-ln(C+m/C+J) (6.134)
х,
где Е определяется формулой (6.111), а С+5 находится из уравнения
(6.124). Первое слагаемое в правой части (6.134) отражает вклад медленно
изменяющейся составляющей функции Е(Х, е), а второе слагаемое - ее быстро
изменяющейся составляющей. Видно, что различие между ДЧ^1* и AvFs(2)
небольшое, особенно если учесть долю А 4% в суммарном скачке потенциала
на отрезке [0, 1]. Заметим, что доля погранслойного скачка потенциала
A'f'j в задаче (6.94)-(6.97), учитывающей нарушение электронейтральности,
намного меньше, чем в классической задаче, где условие
электронейтральности предполагается справедливым. Это связано с тем, что
в задаче (6.94)-(9.97) концентрация
С+5 не стремится к нулю при больших A'F, а имеет порядок л/ё (/ ^ /Нт).
329
Поскольку при 0 ^ X ^ Xs решение системы уравнений Нернста-Планка-
Пуассона с использованием условия КРЗ является точным, то формула
Х5 _ 1 _
АТ = -/ + E(X,?)dX-\n(C+m/C+s) (6.135)
О о
позволяет с высокой точностью рассчитать скачок потенциала во всем
диффузионном слое (0 ^ X ^ 1). Таким образом, задачу (6.94)-(6.97) с
граничным условием (6.97) можно заменить на задачу (6.94}-(6.96) с
условием КРЗ (6.131) и граничными условиями для скачка потенциала,
идентичными тем, которые применяются при использовании условия
электронейтральности:
A^D=-ln(C+m/C+J). (6.136)
Решение задачи с условием КРЗ будет совпадать с решением исходной задачи
при "допредельных" и "запредельных" токах всюду, кроме кваэи-равновесной
погранслойной области толщиной порядка нескольких дебаев-ских длин.
Погранслойную область в новой постановке следует считать математической
плоскостью, где имеются скачки потенциала и концентраций, причем скачок
потенциала на этой плоскости рассчитывается по соотношению Доннана
