Перенос ионов в мембранах - Заболоцкий В.И.
ISBN 5-02-001677-2
Скачать (прямая ссылка):
вблизи точки X = 1.
В промежуточной зоне -2,5 < ? < 2,5 функция Z(?) может быть
аппроксимирована многочленом третьей степени [25], что для зависимости
Е(Х) дает:
Е = ?(Х,е) = 1,26/|/3ё-ш + 0,53/~l/3e-2/3(/X-a)-
-0,03(/X-a) / ё
3 i-5/3=-4/3
Хх<Х<Х2.
(6.113)
320
Для пограничной области, где Е(Х, ё) удовлетворяет задаче Коши (6.104) и
(6.105), решение аппроксимируется формулой [25]:
Е = Ё(ХЛ)~^2(1Х-а)/г 11;~УехР(Р~Р|\ (6.114)
1-уехр (p-pj)
где
у = (*-1)/(* + 1), к = [\ + С+т/(1-2)]Ш,
р = 2тг~\1Х-а)ъп !{Ггт\ Pi = р\Хш1-
Из (6.114) следует, что функция Ё представляет собой произведение
медленно изменяющейся функции ^2(IX-а)I г> являющейся решением задачи на
отрезке [Х2,ХЪ] (формула (6.111), и быстро изменяющейся функции
экспоненциального вида, стремящейся к единице при удалении от границы с
мембраной. Таким образом, нетрудно понять, что формула (6.114) обобщает
(6.111) и справедлива при Х2<Х< 1. Расстояние X, на котором
экспоненциальный сомножитель (6.114) становится близким к
единице, порядка безразмерной добаевской длины (lD ~ *\/ё) [25]:
X = 1 - Х3 = /л/2(/-<х)8(-In 8). (6.115)
Рис. 6.25. Распределение напряженности электрического поля в диффузионном
слое при / = 2, С- = КГ4, C+w = 1
Сплошная линия - численный расчет по алгоритму [116]; штриховые линии -
расчет по приближенным формулам: 1 -(6.109), 2 - (6.113), 3 - (6.111), 4
- (6.114)
[25]
Можно показать [25], что при X, близких к 1 (Х3 <Х< 1) и при к" 1
(последнее условие выполняется, если I не слишком сильно превосходит свое
предельное значение 2), формулу (6.114) можно упростить до вида
? = [1/?т + 1/2(1-Д0]-1. (6.116)
Формула (6.116) получается непосредственно из исходной системы, если не
только положить С_ = 0, но и пренебречь значением тока I в уравнении
(6.94) [24]. Поэтому область, в которой справедлива формула (6.116)
(область [.Х3, 1], где происходит резкий рост Е(Х) за счет
экспоненциального члена), можно считать квазиравновесной частью ОПЗ.
На рис. 6.25 представлено распределение напряженности поля, рассчитанное
численно по алгоритму [116] и аналитически. Видно, что пунктирные кривые,
построенные по формулам (6.109), (6.113), (6.111) и (6.114), в
321
точности согласуются с численным расчетом в областях, где справедливы
соответствующие формулы, причем, что очень важно, области выполнимости
формул перекрываются и аналитические решения сращиваются. Различие между
численным расчетом по формуле (6.114) в области ее действия (кривая 4 на
рис. 6.25) визуально незаметно.
6.8.3. Распределение концентраций
Распределение концентрации коионов С_(X,е) легко найти, зная
Е(Х, ?):
х
С (ХЛ) = ехр(-\?(х,ё) dт). (6.117)
о
Функцию С+ СX, ?) можно найти в общем случае из первого интеграла С+ =-С_
+1Е1 /2-/Х + 0С. (6.118)
Так, для электронейтральной зоны получаем
С+ =С_ = 1 - /X / 2, O^A^A^. (6.119)
В зоне [Х]>Х2], где С+мало, использование первого интеграла (6.118) дает,
однако, недостаточно точный результат, поскольку С+ в этом случае
находится как малая разность двух больших величин, причем точность
приближения (6.114) ухудшается по мере удаления от X = 1. Лучший
результат достигается при использовании формулы:
. i-m i-t-e-po>-?,>. (6120)
'JlX-a 1-уехр (р-р,)
+ 4('У-а)уехр(р-р,
(1-уехр (p-р,))
получаемой из (6.114) дифференцированием, если учесть С+ = ?d?/ dX что
следует из уравнения (6.96) при условии С_ " С+.
Формула (6.120) представляет С+ в виде суммы двух функций. В первом
слагаемом при достаточном удалении от X = 1 (практически при X < Х3)
экспоненциальная дробь превращается в единицу, второе слагаемое при этом
малой С+ медленно уменьшается с ростом X:
С. " ¦¦¦УЧА., X,<X<X,. (6.121)
+ 2 3
Из вида функции Е в этой зоне (формула (6.111)) следует, что С+ "1/Е.
Последнее справедливо если в уравнении (6.94) принять dCJdX < /. Таким
образом, в зоне [Х2, Х3] вклад диффузионной составляющей потока
противоионов мал по сравнению с электромиграцией (рис. 6.26) и эту зону
322
Рис. 6.26. Распределение концентрации противоионов (сплошная кривая) и
коионов (штрих-пунктир) в диффузионном слое при 1 = 4, ?-=1СГ4, С+т =
0,5, найденное численно по алгоритму [116]
Штриховая линия - расчет по формуле (6.121). В области (0,6; 1) имеется
полное совпадение численного расчета и расчета по формуле (6.120) [107]
можно назвать электромигра-ционной зоной ОПЗ. Электрическое поле в этой
зоне достаточно мощное, чтобы обеспечивать постоянство потока
противоионов несмотря на их
малую концентрацию и отсутствие поддержки со стороны диффузии.
При X > Х3 члены с экспонентами дают значительный вклад и концентрация
противоионов начинает быстро возрастать при приближении к X = 1. Если С+т
> С+5, то первое слагаемое в уравнении (6.120) не поспевает в своем росте
за вторым и вблизи X = 1 в формуле (6.120) можно оставить только второе
слагаемое, величина которого при X = 1 точно равна С+т. Заметим, что
именно это слагаемое получается в качестве оценки С+ при подстановке
