Перенос ионов в мембранах - Заболоцкий В.И.
ISBN 5-02-001677-2
Скачать (прямая ссылка):
и соавт. [79-81]; учет конвективного переноса: Харкац [97]; учет
диссоциации воды Харкац и др. [13, 14], Жолковский [15] Учет уравнения
Пуассона Метод асимптотических разложений: Графов, Черненко [98, 99],
Ньюмен, Смирл [100, 101], Духин, Шилов [102, 103], Мак Гилливрей [104,
105], Рейс и соавт. [106], Листовничий [26, 27] Метод "сшивки" решений в
зонах: Никоненко, Заболоцкий, Гнусин [24] Приближение квазиравномерного
распределения пространственного заряда: Уртенов, Никоненко [25, 107]
Конечно-разностные методы: Метод линеаризации: последовательные
приближения: Френч [108]; нестационарные задачи: Брумлеве, Бак [109,
110], Мафэ и соавт. [111-113] Метод прогонки: Денисов [114, 115], Уртенов
[116, 117] Методы стрельбы: метод Ньютона с постоянными производными:
Оффер [118]; метод дополнительной прогонки: Сипила и соавт. [119];
уточнение методом Ньютона: Сипила и соавт. [119] Вариационный метод:
Контури, Сипила [120] Метод установления: Рубинштейн, Штильман [ 12]
МНОГОСЛОЙНАЯ ОБЛАСТЬ
Методы сшивки решений в однослойных областях: У иле, Лайтфут [77];
Никоненко, Заболоцкий, Гнусин [79, 80]; Жолковский [15]; Рубинштейн [93]
Квадратурный метод: Гнусин и соавт. [84] Конечно-разностные методы:
Мафэ и соавт. [85-88], Карлин [89-91] Методы стрельбы: Погружение в
семейство задач с параметрами: Лебедев и соавт. [81-83, 121]
случаях величины потоков должны быть приведены затем в соответствие с
концентрациями на левой и правой границах области (в том числе и
многослойной), а также с общим скачком потенциала или плотностью тока.
В табл. 6.1 дается сводка методов решения электродиффузионных задач для
однослойных и многослойных областей. В последующем тексте коротко
охарактеризованы общие и некоторые частные решения для уравнений Нернста-
Планка с условием электронейтральности. В табл. 6.1 отражены также и
решения, пригодные для случая, когда условие электронейтральности
заменяется на уравнение Пуассона, однако анализ некоторых таких решений
сделан в разделе 6.8.
277
6.4.1. Аналитические решения
Общее решение уравнений Нернста-Планка с условием электронейтральности
для однослойной области, пригодное как для раствора, так и для мембраны,
получено Шлёглем [94] (см. табл. 6.1). Решение Шлегля приводится в ряде
монографий [73, 122, 123] и поэтому нет необходимости его излагать здесь.
Отметим лишь [123], что это решение представляет собой целую серию
остроумных математических находок. Основная идея заключается во введении
интегрирующих множителей, что позволяет свести решение краевой задачи к
нахождению корней системы алгебраических уравнений. Интегрирующие
множители являются корнями многочлена, входящего в состав этой системы
уравнений.
Основным достоинством метода Шлегля является его применимость для любого
числа сортов ионов в системе. При этом сложность его реализации на ПЭВМ
слабо зависит от числа компонентов /V, если N ^ 3. То же самое можно
сказать о применимости метода к многослойным областям. Решение упрощается
в силу равенства потоков в каждом из слоев.
Недостатком метода является необходимость (при N ^ 3) указывать узкую
область определения величин потоков входящих в систему уравнений в
качестве параметров и зависящих от граничных концентраций (это связано с
нелинейностью алгебраических уравнений). К сожалению, метод вообще
неприменим в случае переменных коэффициентов диффузии, интегрирующие
множители в этом случае становятся функциями координаты.
Для случая равнозарядных ионов (| z{ | = z, / = 1, 2, Л) Ю.Я. Гуревич и
Ю.И. Харкац [95] получили аналитическое решение, позволяющее найти
распределение концентраций и потенциала как функции плотностей потоков
ионов:
с,(х) =
l + (J,c,+j2c2)x/(2cZ8)
1 + -
J\C I
-ксг
45
+ 1
(6.35)
у (X) = 1п[1 + (У, /D[+J2/D2 )(х / 2с°А)],
(6.36)
где у, = J,5/c,D" у = zFy/RT.
Для ионов с разными величинами зарядов Ю.И. Харкацем [96] получено
решение в следующем виде. Распределение потенциала по толщине слоя, как
функции уУ и j2, находится численно из трансцендентного уравнения
0,4 +Л4 )f = <Z'C° 7=C°)(Z| *? + г* > (ехргдЧ* -1)4-
o zA[zA +Z\ZA{kx +к2)]
+{[(Zi -z2)f (*| +*2)]C1°*|(Z1 +z2)-c2k2U\ +zA))exp(|iy-1), (6.37)
после чего распределение концентраций находится с помощью алгебраи-
278
ческих формул:
Cj(x) = -
zA + zxz2(kx +k2)
+(z,c,0 + z2c2 )kj(Zi +г/,)ехрг/,\|/(дт)}> ij = 1,2
{[(C,°гЛ + Zj )k,Zj - cf (zA - г, )k]zi] exp|i\|/(x) +
(6.38)
где jj = JfilZjCjDi, kj = JJD,zJ[{JxIDx) + (J^D2)], p= -zxz2{kx + k2).
Для ограниченного числа сортов ионов получены следующие частные решения.
Для бинарного электролита профиль концентрации в диффузионном слое линеен
[81]:
- обедненный диффузионный слой:
c(jc) = ci - с1
Z\J\ "¦
-(z,7i +zAjA)
Z\ - ZA
• обогащенный диффузионный слой:
с(х) = с11 +С1
Z\J\ "¦
Z\ - ZA
-(Z,jx +ZAjA)
Kjc"/51),
(6.39)
(6.40)
где x11 - координата, отсчитываемая от внешней границы обогащенного
диффузионного слоя; с - эквивалентная концентрация электролита: с = \ Zj
