Биофизика - Владимиров Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдают в условиях, когда деформирующая сила создается внутренним
избыточным давлением р. При варьировании р в основном изменяется просвет
(площадь поперечного сечения) сосуда, а длину можно считать постоянной
величиной. Такое явление происходит в организме в естественных условиях
течения крови по кровеносным сосудам и играет большую роль в гемодина-
мических процессах (см. гл. 12). Найдем количественную связь между
параметрами кровеносного сосуда и внутренним давлением.
Примем, что сосуд имеет цилиндрическую форму. Рассмотрим сегмент такого
сосуда длиной I с внутренним радиусом поперечного сечения г и толщиной
стенки h (рис. 83). Плоскостью, проходящей через диаметр, условно
разделим сосуд в продольном направлении на две половины. Образовавшееся
внутреннее сечение имеет площадь 2г/. На эту площадку действует сила f,
обусловленная давлением: / = р • 2г/. Сила f стремится разъединить две
половины сосуда, в результате чего в сосудистой стенке появляются упругие
силы, направленные тангенциально (по касательной) к окружности
поперечного сечения и перпендикулярно площадкам продольного сечения
стенки. Суммарная тангенциальная упругая сила fT, очевидно, определяется
выражением /т = от • 2hi, где ггт - тангенциальное напряжение в стенке;
2hi - сумма площадей продольных сечений стенки, к которым приложена /т.
Силы / и /т уравновешивают друг друга, так что
2prl = 2aTW, илв от = pr/h. (10.9)
Это выражение носит название уравнения Ламе. Оно описывает равновесное
состояние сосуда при данном давлении р.
В общем случае при сдвиге р изменяются и г и h. Однако можно-считать, что
объем стенки, равный 2nrhl при г"h, представляет собой неизменную
величину, поскольку и / = const, произведение rh тоже можно принять в
202
качестве неизменного параметра. Тогда уравнение Ламе можно записать в
виде
°т = ргг!ал, (10.10)
где а0 = rh и не зависит от р и г.
Проанализируем теперь состояние сосуда после изменения давления на dp,
которому соответствуют изменения тангенциального напряжения на doT и
радиуса на dr. В этом состоянии давление, напряжение и радиус равны
соответственно (р + dp), (от + doT) и (г -f dr) и, согласно соотношению
Ламе,
Oiy -J- Аз ip -
(р + dp) (г + dr)2
(10.11)
Раскрывая скобки в правой части этого уравнения и пренебрегая членами,
содержащими dpdr или (dr)2, получаем
рг2 r2dp 2 prdr
°т + <*от= ' + "Ь
do ао ао
Вычитая (10.10) из (10.12), имеем
(10.12)
dcT =
r2d р 2 prdr
(10.13)
°(| ав
В этом выражении daT - это то тангенциальное напряжение, которому
соответствует изменение длины стенки по окружности на 2тс(г 4- dr) --
2nr. По закону Гука
2т. (г -|- dr) - 2кг ^ dr
2 ш = г '
daT = Е
(10.14)
где Е - эффективный модуль упругости сосудистой стенки.
При объединении уравнений (10.14) и (10.13) получается, что
dp
-(
Еа0 2р \
гs г
dr.
(10.15)
Это выражение легко преобразовать в зависимость изменения просвета сосуда
от dp. Исходная величина просвета s равна 1гг2, его изменение ds -
d(itr2) = 2nrdr. Отсюда dr = ds/2nr, и подстановка этого соотношения в
(10.15) дает:
dp = (-?*--P-)dS.
и v 2r2s s )
(10.16)
203
Выражения (10.15) и (10.16) - основные уравнения деформации кровеносного
сосуда: расширения при увеличении давления на dp или сужения при
уменьшении давления на dp.
При высоком модуле упругости сосудистой стенки часто оказывается, что
второй член в скобках в уравнениях (10.15) и (10.16) гораздо меньше
первого члена и им можно пренебречь. Тогда уравнения деформации принимают
более простой вид:
Эти выражения широко используются при описании течения крови,
распространения пульса по кровеносным сосудам (см. гл. 12). Уравнения
(10.15) и (10.16), а также (10.17) и (10.18) применяются для расчета
эффективного модуля упругости сосудистой стенки, характеризующего
тангенциальную деформацию. Для этого, как видно из указанных выражений, в
эксперименте необходимо измерить давление внутри сосуда, его радиус,
толщину стенки и изменение давления и радиуса.
Деформация сосудов артериальной части системы кровообращения протекает в
организме в динамических условиях: подъем давления и последующий его спад
совершаются за непродолжительное время. В этих условиях, как говорится на
с. 197, модуль упругости зависит от времени и всегда выше модуля
упругости, рассчитанного для состояния равновесия [см. уравнение (10.7)1.
Для определения зависящего от времени динамического модуля упругости
используются два метода. При первом методе искусственно вызывают
периодическое изменение радиуса путем циклического механического сжатия
сосуда и измеряют dp и dr, а затем рассчитывают модуль упругости по
уравнению типа (10.15). В зависимости от частоты деформации динамический
модуль упругости отражает упругие свойства стенки в разные моменты
времени после начала деформации. Скажем, при частоте 5Гц это время равно
примерно 0,1 с.
Другой способ косвенный. Он состоит в измерении скорости распространения
по сосуду волны давления (см. гл. 12, уравнение 12.18). На рис. 84 в
