Теоретическая биология. Часть 1 - Васильев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Используем следующий метод для оценки числа способов, которыми может быть реализован простой (элементарный) фрагмент. Введем характерный диапазон изменения аргумента Ах, в котором кривую можно считать линейной (направление изменяется в пределах характерной недетерминированности для направления, т.е. в пределах характерной недетерминированности первой производной). Характерный диапазон Ах, с одной стороны, определяет вторая производная в силу соотношения 5/ = /'Ах, а с другой, невоспроизводимость самой измеряемой величины: 5/ = 5//Ах. Таким образом, характерный размер диапазонов по х, на которые, как на линейные участки следует делить простой фрагмент, определено характерным значением второй производной и невоспроизводимостью измеряемой величины: Ах = (5//)1/2.
В случае невоспроизводимости 5/ = 100% по смыслу невозможно выделить более одного линейного участка, т.е. весь простой фрагмент кривой представляет собой единственный линейный участок. В случае невоспроизводимости 5/ = 1% число линейных участков в 10 раз больше -- равно десяти, а при 5/ = 10% -- примерно трем. Таким образом, при невоспроизво-димости самой измеряемой величины 1 и 10% и определенном по порядку величины значении второй производной недетерминированность первой производной составляет 10 и 30% соответственно.
Отметим, что при неопределенных типовых свойствах второй производной (если ее характерное значение и знак не заданы) и заданном знаке лишь для первой производной (монотонном изменении измеряемой величины) оказалось бы значительно больше, чем полученное.
13
При 1 и 10% число линейных фрагментов составило бы соответственно 100 и 10. Заданные свойства второй производной, несмотря на их значительную неопределенность, существенно ограничивают число возможных вариантов реализации для рассматриваемого фрагмента биологической кривой.
При кусочно-линейной интерполяции произвол при переходе от одного линейного участка к следующему выражает выбор одного из двух вариантов изменения производной — максимального или минимального. Промежуточные между ними варианты оказываются неразличимы, поскольку весь диапазон изменения производной для линейного участка совпадает с ее недетерминированностью. В результате число различных способов реализации простого фрагмента, удовлетворяющих заданным для фрагмента типовым свойствам, при невоспро-
10 3
изводимости самой измеряемой величины 1 и 10% составит соответственно 2 и 2 .
Таким образом, для простых фрагментов число различаемых реализаций оказывается невелико. А число различаемых реализаций — это фактически и есть информативность или информационный потенциал имеющихся данных. В случае недетерминированности 1% информационный потенциал для простого фрагмента без концевых точек оказывается меньше информационного потенциала, соответствующего суммарно двум концевым точкам фрагмента. Действительно, при оценке числа вариантов реализации фрагмента должны быть отдельно заданы значения величины и ее производной (наклон кривой) на границах простого фрагмента. Для самой величины и 10% для производной выбор в каждой концевой точке — это выбор из 100х10 = 1000 вариантов, т.е. столько же, сколько для простого фрагмента при заданных условиях на его границах.
<Геометрическая интерпретация.>
Фактически при рассматриваемом наборе типовых свойств для определения варианта реализации простого фрагмента помимо граничных условий достаточно определить поведение кривой в одной или очень малом числе точек этого фрагмента.
Рис.1. Геометрическая интерпретация типовых свойств
Прежде всего, монотонность первой и второй производных означает, что любой фрагмент кривой заведомо заключен между тремя прямыми — двумя задающими начальное и конечное значение производной на границах рассматриваемого участка, и третьей прямой, соединяющей начальную и конечную точку (см. рисунок 1). Например, положение промежуточной принадлежащей кривой AB точки P на прямой OC заведомо ограничено отрезком OC (точка O определена как пересечение касательных к кривой в точках A и B, а точка P как пересечение перпендикуляра из точки O к прямой AB).
14
Причем заданное характерное значение второй производной еще больше ограничивает это поведение, запрещая близость к точкам O или С. При такой близости значение второй производной значительно отличалось бы от заданного характерного значения, что означало бы наличие некоторых дополнительных типовых свойств кривой по сравнению с принятыми исходно. Наконец, заданное характерное значение второй производной при любом выборе промежуточной точки ограничивает число возможных вариантов значения производной в ней, т. е. выбор принадлежащей фрагменту точки и наклона в ней нельзя считать независящими друг от друга.
Учитывая эти ограничения, получим, что при невоспроизводимости 1% для определения поведения фрагмента в целом одной промежуточной точки оказывается недостаточно. С учетом ограничений ширина диапазона допустимых значений для любой промежуточной точки (значение измеряемой величины при любом заданном значении аргумента) в несколько раз меньше всего диапазона изменения величины, т.е. в несколько раз меньше 100. Аналогично и значение производной в любой промежуточной точке нельзя считать произвольным (любым из 10) в соответствии с заданным характерным значением второй производной. Следовательно, определению значения измеряемой величины и ее производной в любой промежуточной точке соответствует выбор из значительно меньшего числа, чем выбор на границе диапазона.
