Теоретическая биология. Часть 1 - Васильев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если система регуляции независимо поддерживает нижнее и верхнее допустимое значение регулируемых величин, то при малой ошибке измерений в эксперименте будем наблюдать примерно прямоугольное распределение. Достаточно широкий диапазон допустимых значений при этом вполне целесообразен, поскольку обеспечивает экономию издержек на регуляцию или большие возможности адаптации за счет разнообразия возможных реакций системы на воздействие. При таком варианте регуляции для измеряемой величины с учетом наложения случайной ошибки будем наблюдать распределение вероятностей, которое дает вставка прямоугольника в центр гауссова распределения.
10
В сравнении со случаем распределения Гаусса, когда с увеличением числа повторных измерений среднеквадратичное отклонение убывает обратно пропорционально корню квадратному из числа измерений, в случае распределения, близкого к прямоугольному, среднеквадратичное отклонение с ростом числа измерений почти не будет уменьшаться или будет уменьшаться значительно медленнее.
2.2. Размерность
В случае измерений некоторой величины в зависимости от другой (в двумерном случае) вместо линии, т. е. объекта не имеющего поперечного размера (бесконечно тонкого объекта), мы получим линию конечной ширины -- «полоску» или «размытую линию». Наконец, в случае измерений некоторой величины в зависимости от более, чем одной величины (трех- или многомерном случае) объектом является «размытая поверхность».
Иными словами, во всех случаях мы получаем объект той же размерности, что и размерность пространства, в котором мы отображаем экспериментальные данные. В этом состоит отличие от случая абсолютной воспроизводимости, когда размерность пространства на единицу больше, чем размерность требуемого отображения данных. Как следует из оценки, сделанной в п.3, практическая потребность в изменении способа интерпретации получаемых при измерениях данных (переход от обычной для многих физических измерений интерпретации (1) к рассматриваемому здесь представлению (2)) возникает в том случае, если характерная невоспроизводимость измерений составляет 1% и более.
Отметим формальную трудность, возникающую, если оперировать зависимостью измеряемых величин как некоторой компактной (компактность обычно следует из условия воспроизводства — см. гл.II «Экономика») областью (в зависимости от размерности задачи) — «размытой точкой», «размытой линией» («полоской») или «размытой поверхностью». Трудность состоит в реконструкции соответствующей компактной области по набору экспериментальных точек, поскольку реконструкция по имеющимся обычно данным существенно неоднозначна. Для практически однозначной реконструкции необходимо очень «плотное» заполнение реконструируемой области экспериментальными точками.
Эту формальную трудность можно обойти, если строить не абсолютно точное описание поведения системы, которое не может иметь большой ценности в силу наблюдаемой неполной воспроизводимости этого поведения, а приближенное описание.
Кроме того, данными в форме «полоски», размытой поверхности и т.п. весьма неудобно оперировать практически, хотя и для таких не слишком удобных для описания объектов можно определить локальное направление как эквивалент первой производной, скорость изменения направления как эквивалент второй производной и т. д. Поэтому в дальнейшем будем представлять такие данные обычной функцией (интерпретация: «полоска» или «размытая функция» -- это обычная функция вместе с ее окрестностью, которую определяет разброс) со всеми ограничениями, вытекающими из первичного представления исходных данных «размытой функцией» — см. далее.
2.3. Конечное число реализаций и неопределенность высоких производных
Вследствие разброса эквивалентное описание получаемых данных можно получить в дискретном представлении. Значения функции и аргумента вполне можно считать дискретными, поскольку нет основания различать между собой значения, которые разделяет малая величина в сравнении с наблюдаемым <характерным> биологическим разбросом. Дискретное представление неявно используют, когда даже при точных измерениях, например, массы оставляют небольшое <в сравнении с тем, которое можно надежно установить> число значащих цифр. Дискретное (сеточное) представление заведомо гарантирует от утраты исходно имеющейся информации, если взять координатную сетку с расстоянием между узлами, которое заведомо меньше разброса.
Если минимально возможная невоспроизводимость фиксирована, то в дискретном представлении число узлов сетки по любой координате будет конечно в силу того, что значения описывающих живую систему величин ограничены сверху и снизу. Обозначим верхнюю гра-
11
ницу для величины у через ym, а нижнюю для определенности будем считать нулем, поскольку значения всех величин обычно положительны. Тогда число узлов сетки по у будет Ny = ym/5y, где 5у — это принятое значение разброса для у. Аналогично число узлов сетки по x будет Nx = xm/5x. Причем разброс по x и у связаны между собой через значение производной у' как 5у = у'5х в силу геометрической интерпретации производной и разброса соответственно как наклона и толщины кривой y(x) (5у и 5х — проекции толщины на оси у и x). Эта связь позволяет описывать разброс любой из величин 5у или 5x (поскольку не составляет труда установить характерное значение производной как отношение Ay/Ax в некотором диапазоне Лу, 5y<Ay<ym — считаем, что разброс не настолько велик, чтобы нельзя было установить характерное значение первой производной -- иначе количественное описание теряет смысл) в соответствии с обычной практикой, когда разброс определяют для какой-либо одной из величин x и у при заданном значении другой.
