Теоретическая биология. Часть 1 - Васильев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
f-' < 0,f- -'' >0.
Сформулированные для зависимости вида v = vm f(x+ ,х-) свойства можно определить как типовые для процессов в живой системе, наиболее явно они выражены на микроскопическом уровне. Прежде всего, это типовые свойства для ферментативных превращений практически с любой схемой, а не только описываемой простейшим представлением (1.1). Эти же свойства выполнены в случае активного транспорта через мембрану с участием белка-переносчика, поскольку процесс перемещения имеет тот же смысл, что и ферментативная реакция, если заменить S (x+) и P (x-) на концентрации переносимого вещества в исходном и конечном компар-тменте соответственно. Для отдельных этапов переноса электрона в электрон-транспортной цепи хлоропластов и митохондрий аналогичными переменными х+ и х- являются отношения концентраций переносчиков в окисленной и восстановленной форме. Для этапов другого рода
94
свойства близки указанным типовым. Для диффузии в одномерном градиенте концентраций выражение скорости имеет более простой вид
v = D( x+ _ x_), (14)
где x+ и x- — концентрации переносимого вещества в начальной и конечной области (в данном случае AG = 0, т.к. диффузия не требует энергетических затрат). Аналогичное выражение выполнено в случае дальнего транспорта, описываемого формулой Пуазейля (например, для кси-лемного и флоэмного транспорта в сосудистых пучках растения). Тогда x+ и x- — это давления в начальной и конечной точках. Для этапов такого рода выполнены все типовые свойства, кроме условий на вторые производные, которые в данном случае обращаются в нуль. Для обобщения проводимого ниже рассмотрения на случай участия этапов такого рода достаточно минимально скорректировать типовые свойства вторых производных, считая, что f++'' — неположительна, f- _'' — неотрицательна <т.е. вторые производные не меняют знака>, это не изменяет основные выводы, получаемые в дальнейшем.
1.3. Вывод типовых свойств стационарной скорости многоэтапного процесса
Будем считать, что последовательность включает N этапов. Субстрат для первого превращения обозначим x1, продукт x2, другие характеристики первого этапа будем сопровождать индексом 1, например, скорость на первом этапе — это v1, максимальная скорость — v1m. Переход к каждому следующему превращению будем сопровождать увеличением всех индексов на единицу (для i-го этапа AG ,v f и т.п., <роль переменных x+ и x- для i-го этапа выполняют переменные x; и xi+1>), последний этап будем считать необратимым (схема 1.5)
v1m v2m v
x1 ^ x2 ^ - xN N^ xN+1 . (15)
Таким образом, в результате превращения исходного вещества — субстрата x1 (начального реагента) будет получено вещество xN+i (конечный продукт).
Рассмотрим зависимость стационарной скорости от концентрации x1 и максимальных скоростей vmi для отдельных этапов. Последние пропорциональны концентрациям ферментов и переносчиков для этих этапов. В силу условия стационарности скорость i-го этапа равна общей скорости v для всех этапов, т.е. скорости процесса получения xN+1 из x1 в целом:
v = v;, (i = 1,2,...N).
Прежде всего, стационарная скорость монотонно изменяется с изменением любой из максимальных скоростей при заданных значениях других максимальных скоростей и начальной концентрации x1, т.е. производная dv/dvmk не меняет знака во всем диапазоне положительных значений vmk. Предположим противное, тогда при значении vmk, при котором происходит изменение знака производной получим для малых приращений скорости (5v) и рассматриваемой максимальной скорости (5vmk), из условий стационарности для i<k 5v; = f+ ' 5x; - f\_ ' 5xi+1 = 5v = 0, учитывая, что 5х1 = 0, а производные не равны нулю, получим, решая эти уравнения последовательно, начиная с i = 1, что 5х = 0. Аналогично, учитывая необратимость последнего этапа, т.е. 5х = 0 в силу отличного от других при \фк вида уравнений при i = N 5vN = fN+ ' 5х = 5v = 0, получим также последовательно решая уравнения для малых приращений при i<N, что 5хк+1 = 0. В результате, подставляя полученные значения 5хк = 0 и 5хк+1 = 0 в уравнение для i = k получим противоречие 5vk = fk 5vmk + fk+' 5xk -fk-' 5xk+1 = 5v = 0, т.к. fk и 5vmk не равны нулю.
Вторая производная 52v/5vmk2 также не меняет знака во всем диапазоне имеющих смысл (т.е. неотрицательных) значений vmk. Это можно доказать аналогично от противного, причем знак смешаннойf+-'' производной не имеет значения для доказательства.
Установим знаки производных, рассматривая предел малых значений vmk. В этом пределе в силу v ^ 0 являются квазиравновесными все этапы кроме i = k и i = N: в силу конечности v для всех других i должно быть выполнено условие f ^ 0, т.е. x; ^ xi+1 exp(AG/RT). Таким образом, в этом пределе приращение 5хк пропроционально 8х1, а 5хк+1 пропроционально 8хN, причем в силу 8хN = bv/fN+’ и положительности экспоненциальных множителей 5хк+1 пропор-
