Теоретическая биология. Часть 1 - Васильев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
5.2. Возможные стандарты малопараметрической интерполяции
Важно обсудить имеющиеся возможности представления данных.
Непосредственное соединение экспериментальных точек (любым способом) в общем случае не соответствует типовым свойствам, а поэтому не годится практически никогда, если при расчетах нужны вторичные характеристики кривых типа первой производной.
По набору экспериментальных точек можно построить удовлетворяющее типовым свойствам кусочно-линейное представление. Его дает алгоритм множественного перебора в дискретном представлении с шагом, определяемым значением второй производной (см.п.3), а технически реализует алгоритм вложения циклов с отбраковкой варианта при несоответствии типовым свойствам в сеточном представлении. Такое кусочно-линейное представление вполне пригодно не только для оценки невырожденной информации. Несмотря на разрывы производной, получаем описание, которое явно выражает имеющуюся неопределенность вторичных характеристик. Значение первой производной определяет непосредственно наклон, а шаг ломаной характеризует диапазон, в котором происходит ее различаемое изменение. Знак и характерное значение второй производной также можно контролировать по сеточному представлению. Недостаток кусочно-линейного представления, помимо сложного алгоритма получения, -- это относительно большое число промежуточных точек.
Предпочтительнее соединение малого числа точек с непрерывной производной. Число
промежуточных точек при описании элементарного фрагмента можно уменьшить до двухтрех (см. геометрическую интерпретацию в п.3). Соединение точек с помощью полиномиальных зависимостей обеспечивает простоту проверки выполнения типовых свойств, контроля соответствия среднеквадратичного отклонения наблюдаемой невоспроизводимости и простоту последующих расчетов <для них обычно нужны те же выражения, что при проверке типовых свойств, т.е. выражения для производных>.
Как стандарт локальной полиномиальной интерполяции наиболее приемлем полином третьего порядка, т. е. кубический сплайн. Второй порядок также дает непрерывную произ-
21
водную, но практически не позволяет уменьшить число фрагментов в сравнении с кусочнолинейным представлением, поскольку в случае локальной интерполяции полиномом второго порядка нет свободных параметров. При переходе одного участка к следующему нужно обеспечить выполнение трех условий — для значения самой функции на двух границах, а также для значения производной на предшествующем шаге. Таким образом, при квадратичной интерполяции будут фиксированы все три параметра. По аналогии с интерполяцией первого порядка без непрерывной производной (в котором на одно условие и один параметр меньше) выбор из двух вариантов возможен только на границах участков, т. е. вариант локально квадратичной интерполяции с непрерывной производной аналогичен локально линейному без непрерывности.
Локальная полиномиальная интерполяция более высокого порядка, чем третий, также не имеет смысла из-за того, что в общем случае типовые свойства описываемой кривой не соответствует типовым свойствам полинома. Выбор полиномиального представления обеспечивает простоту дифференцирования и интегрирования, т.е. адаптирован под выполняемые процедуры, но не типовые свойства. В частности, при интерполяции простого фрагмента в целом или любого его участка, для которых должны быть постоянны знаки первой и второй производной, полиномиальная интерполяция с большей степенью, чем вторая, всегда является вырожденной. Полином третьего порядка и выше в зависимости от выбора коэффициентов может изменять знак первых двух производных, а для простого фрагмента по определению знаки производных фиксированы. Иными словами, вырождение проявляется в том, что, помимо требований непрерывности функции и ее производной, также должны быть выполнены неравенства, выражающие типовые свойства. Увеличение порядка полиномиальной интерполяции усложняет все процедуры не только из-за более громоздких вычислений, но и из-за возрастающего несоответствия между типовыми свойствами кривой и типовыми свойствам полиномов (будет увеличиваться число наложенных на коэффициенты интерполяции неравенств, выражающих типовые свойства кривой). С рос-
22
том порядка интерполяции доопределяются значения высоких производных, которые не имеют смысла в силу особенностей биологической кривой, но фактически тот же информационный потенциал распределяется между большим числом параметров.
Для описания простых кривых, представляющих собой один элементарный фрагмент, его часть (обычно требуется интерполяция в рабочей области) или более сложные кривые при плохой воспроизводимости данных, приемлема также однокусочная интерполяция. Для описания зависимостей со свойствами элементарного фрагмента наиболее распространено применение зависимости Михаэлиса-Ментен. Это на первый взгляд кажется удивительным. Эта зависимость не позволяет описать обратимые этапы превращений (а таких большинство в последовательностях биохимических превращений), не описывает этапы со схемой, отличающейся от простейшей схемы с превращением одного субстрата и образованием одного промежуточного состояния, не дает описание неферментативных промежуточных этапов (фото- и электрохимических, диффузионных, активного, активированного транспорта и т.д.). Важно однако, что кривая Михаэлиса-Ментен удовлетворяет выведенным типовым свойствам квазистационарной скорости многоэтапного процесса, поэтому часто дает вполне адекватное описание зависимости результирующей скорости многих биологических процессов от нагрузочных характеристик (концентраций субстратов, давлений, водного потенциала, механических растяжений) -- пример описания фотосинтеза как сложного процесса со множеством этапов разного рода (рис.4 к п.6.2. гл.2 — кривая A(ci) для С3-вида).
