Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 158

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 .. 161 >> Следующая

Значит, нужно измерить такие функционалы, знание которых позволило бы исследовать скорость убывания решения системы (2) при больших z. Как кратко описано в первой части настоящей книги, система (2) со случайными коэффициентами приводится к произведению случайных матриц, которое исследуется переходом к полярной системе координат. В системе (2) малы числа а/ и случайные процессы сц(г), а постоянные распространения Р/ различных мод, наоборот, велики (Р/А./=2я, где А./ — длина волны /-й моды — величина порядка нескольких миллиметров). Важно на самом деле, чтобы и разности |?/—р*| были велики, но на этот счет принимаются специальные меры (например, покрытие стенки волновода изнутри диэлектриком). При этом условии небольшое рассмотрение показывает, что марковская цепь на сфере (к которой сводится исследование произведения случайных матриц) допускает диффузионное приближение, полностью определяемое значениями измеряемых функционалов, т. е. мощностей различных мод.
Но в начале 1960-х годов науки о произведениях случайных матриц еще не существовало. Р. Ф. Матвеев [6, гл. 4], используя малость отношений \Aj(z)\/\Ai(z)\, применил замену переменной
{Ax(z), At(z),i!*(*)}-*|^ifr), j-J-, .. . , -iL-JJ
и получил эквивалентный позже появившейся науке результат плюс приближенные методы расчета асимптотики log\Ai(z)\ в условиях малости \Ai(z)\/\A\(z)\. Примерно в то же время американский теоретик Роу [54], занимаясь той же задачей, рассмотрел систему двух уравнений
да—г,/,**)+&«/»(*).
488
/;(2) = /ф)/0(2)-Г171(2),
в которой 0<Г0<Гь т. е., в общем, ту же самую систему уравнений связанных мод. Но Роу сделал следующую замену переменных:
Ш = e~r,zG0(z), /|(г)e-r»*Gi(2),
и эта (казалось бы, вполне безобидная) замена погубила дело. Причина этого в том, что при г—> <» обе функции 1q(z) и !\(г) имеют одинаковый порядок убывания
|/.(*)|~е-г‘, 1Л(2)|~е-г*.
где Го<Г<Гь так что при замене переменных, сделанной Роу, \G9(z)\—>О, \Gx(z)\—> <» и вся картина стационарного процесса 1\(z)/Iq(z) потеряна. Тем не менее Роу каким-то образом угадал правильный ответ, эквивалентный ответу Р. Ф. Матвеева, но счел нужным приписать в статье [54] замечание, сводящееся к тому, что хотя многие в этот ответ верят, но ни в работе [54], ни в других нет ничего, что этот ответ обосновывает. Так, успех математического исследования может зависеть от как бы случайной удачи или неудачи, например замены переменных.
Но решение математической задачи — не то, что интересует нас в первую очередь (потому мы и описываем математическую сторону весьма кратко). Перейдем к вопросу о соответствии модели случайного процесса действительности.
5.4. Статистическая сторона. Общее правило для обращения с системами уравнений, включающими малые случайные возмущения, состоит в том, чтобы решить систему с точностью до членов второго порядка по возмущениям. Следуя [6, с. 114], рассмотрим частный случай системы уравнений связанных мод, когда длина волновода z настолько мала, что (a/—ai)z<l. Тогда можно положить а/=0, /= 1, ..., N, и амплитуда /-й моды на выходе линии Aj(z) получит вид
At{z) = e-Wf j*clf(t)eltiji<dtt ]Ф 1 о
(и несколько более сложный вид для /=1), где fy,=P/—(5,, а начальное условие имеет вид
^i(0)= 1, Л,(0)= .. . =Л„(0)=0.
Согласимся (несколько легкомысленно), что мы можем измерить
ИДг)|*= /*(2) -+-/|(2),
389
где
Если z, с одной стороны, достаточно мало, чтобы (а;—а|)г<1, а с другой стороны, достаточно велико по сравнению с радиусом корреляции случайного процесса C\i(t), то 1\(г) и h(z) имеют нормальные распределения с нулевым средним и одинаковой дисперсией, причем ковариация между I\(z) и 12(г) намного меньше их дисперсии. Следовательно, |Л/(г)|2 имеет распределение суммы квадратов двух независимых нормальных величин, т. е. показательное распределение. Посмотрим, что это означает практически.
Постоянные pi и Р/ являются функциями частоты колеба* ншЧ о (примерно пропорциональны частоте). Следовательно, при изменении частоты измеряемая мощность \A/(z)\2 будет вести себя аналогично периодограмме (рассматриваемой как функция частоты): в среднем (по ансамблю волноводов) она будет давать спектральную плотность процесса Cij(t) (на частоте P/i—P/i(<o)), но при этом обнаруживать большой разброс. Поскольку \Aj(t)\2 есть мощность /-й моды, она интерпретируется как потеря мощности основной (первой) моды на преобразование в /-ю моду. Если мы ее измеряем с большим разбросом (а коэффициент вариации показательного закона равен, как известно, единице), то те суммарные потери мощности в длинном волноводе, которые являются целью исследования, определяются крайне неуверенно. Сходная ситуация возникает и при изменении длины линии г.
Модель случайного процесса дает следующее. Конечно, измерения на разных частотах следует усреднить, при этом точность определения среднего может быть оценена, исходя из модели случайного процесса. Для длинной волноводной линин это среднее будет иметь гораздо больше смысла, чем для короткой, так как затухание (в децибелах) в длинной линии есть примерно сумма независимых случайных величин (затуханий на отдельных участках). Иными словами, с объяснением причины разброса измерений чисто вероятностными средствами получаем определенную уверенность в том, что можно ориентироваться на средние результаты измерений при проектировании длинной линии.
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed