Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
называется структурной функцией процесса %t.
Структурную функцию можно использовать вместо корреляционной функции и для задания обычного стационарного процесса. Действительно, если ?< — стационарный процеес с корреляционной функцией Bx(t), то имеем равенство
Л*(0-Мд+М§-2МЬЬ-2[Ве(0)-Д,(0].
откуда
J3^)-S5(0)-1/2D5(0.
Обычно 0 при *-+0; тогда получаем В.(0) *=
-= 1/2 lim DAt), так что корреляционная функция процесса
может быть выражена через структурную.
23* 355
Если процесс |/ является процессом со стационарными приращениями, то Dt(t) стремится к <» при t—>оо. Поскольку (при целом t)
S (sr-b-i)(5j-6w)<*e0.<i), i <f. t<t
то стремление Dt(t) к оо при t->?o не может быть более быстрым, чем ct*, сэД?( 1) — константа.
При непрерывном времени t процесс ?, со стационарными приращениями удобнее всего определить как такой процесс, что его производная = tj, есть стационарный процесс. Тогда получим
t
It " Is “ j Tiudu-9
Пользуясь спектральным разложением
rltt = ^eauZ(dl),
—ОО
где Z — случайная ортогональная мера, найдем
ь-ь-
—ОО
а тогда получим следующее спектральное разложение структурной функции:
00
D,(t) - М(Ь - Ь)» - J ^ -
“2 j(l — cosXf)G(dX),
где F(<4) = M|Z(i4)|*, G(dX) — F(dX)/X*. (Последний интеграл, очевидно, сходится, если, например, — обыкновен-
ный случайный процесс, т. е. ^{(—оо, оо)} конечно.)
Посмотрим теперь, что даст фильтрация процесса со стационарными приращениями.
Пусть спектральная характеристика фильтра %> (X) такова, что ф(Я) =0 при !Я1<д, а — некоторое число. В частности,
356
это означает, что не зависящая от времени величина на выходе фильтра дает нуль, а поэтому безразлично, подавать ли на вход фильтра |(t) илн |(t)—? (0). Кроме того, предположим, что достаточно низкие частоты не влияют на выход фильтра, и потому можно записать вход фильтра ?(/)—g(0) в виде интеграла лишь по частотам, таким, что |Х|>Ь (где
Z(rfX)
Второе слагаемое в последней формуле не зависит от времени t и потому (как предполагается) на выходе фильтра даст нуль. В результате получаем, что выход фильтра ?(/) записывается следующим спектральным разложением:
>.|>ь
а следовательно,
Л1ЮТ- f №?G(di.).
D.i >ь
Делая функцию фильтра <?(>) такой, чтобы квадрат |ф(/-)|а походил на 1/2'б(/—а0)-f 6fX-f )„)), сможем оценить спектральную плотность g{)) = G(d).)/dl в точке >.=Х0. Учитывая четность функции g(l) (предполЕгаем, что плотность меры G существует) и полагая g^i) = 2?(а), получим следующую форму спектрального представления структурной функции:
ев
D,(i) = 2 f(l —cos ).<)?,('•)</>.
о
Таков список основных определений и формул, связанных с понятием процесса со стационарными приращениями.
2.3. Теория локального строения турбулентности по Колмогорову— Обухову. Пусть v(x, t) — скорость потока в точке x^R3 в момент t в некотором большом турбулентном потоке, например в свободной атмосфере или в океане. В целом поле скоростей определяется крупномасштабными процессами вроде некоторого среднего ветра в атмосфере либо среднего течения в океане. Но предметом изучения являются прнращення
Arv(x, t)=v(x+r, t)—v(x, t).
357
которые предлагается описывать чисто статистически. (Можно брать приращения и по времени.)
Представим себе измерительный прибор, описываемый парой векторов г и а, который, будучи приложен в точке х в момент t, измеряет проекцию вектора Arv{x, t) на направление а. Корреляционная теория должна иметь дело с ковариациями показаний двух таких приборов (ru aj и (rit а2), прикладываемых в разных точках пространства и в различные моменты времени. Но можно показать (см. книгу А. С. Монина и А. М. Яглома [28, с. 94]), что достаточно ограничиться ковариацией показаний приборов с одним и тем же г=г\=г2, приложенных в одной точке. (Разные моменты времени могут быть приведены к одному моменту времени с помощью некоторой весьма правдоподобной гипотезы «замороженной турбулентности».) Таким образом, прибор, измеряющий корреляционную характеристику, должен измерять
M{proj0iA,i;(*, 0 . projfl Д^дг, /)}• (1)
Делается предположение локальной изотропности, которое заключается в том, что показание прибора (1) не изменится, если тройку векторов (г, аь а2) повернуть как целое одним вращением пространства (а также точку заменить на
х' и момент времени t заменить на /').
Понятно, конечно, что любые пары векторов at и а, можно свести к случаю, когда векторы at и а, совпадают с ортами некоторой ортонормированной системы координат. Выберем систему координат специфическим образом: орт L направим вдоль вектора г = (rv rt, г,), а два других орта Nt и /V, направим произвольно (перпендикулярно L и друг другу). Обозначим через uL проекцию приращения Arv(x, t) на орт L, через uNi и ик—проекции этого приращения на Nt и Nt. Из предположения изотропности легко следует, что uL не коррелировано с
