Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 143

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 161 >> Следующая

о
(осреднение по времени... как правило, будет
352
Рас. 11. Результаты измерений спектральной плот* ности скорости потока (источник: [28])
все же значительно больше того, что вытекает из чисто вероятностной оценки ошибки, связанной с временем усреднения. Но анализ этих отклонений вряд ли поведет к чему-нибудь интересному, так как, например, выяснится нестабильность во времени каких-нибудь условий опыта по измерению спектральной плотности (т. е. время усреднения увеличить нельзя). Описание подобной нестабильности, вероятно, выходит за рамки наших возможностей, а тогда их обнаружение не принесет научной пользы. Но вообще-то иметь в виду вероятностные оценки точности определения спектральной плотности и как-то сопоставлять их с наблюдаемым разбросом все-таки следовало бы.
§ 2. Стационарные приращения
2.1. Введение. Сказать, что мы наблюдаем реализацию случайного процесса значит сказать довольно много. Должны быть какие-то мысли об ансамбле реализаций, т. е. о том, что нужно (в принципе) сделать, чтобы получить еще много реализаций того же самого процесса (совершенно одинаковых по вероятностным свойствам). Например, если производится опробование некоторого месторождения полез-вого ископаемого, то может означать суммарное содержание полезного компонента п скважине с номером t, в то время как скважины расположены с равным шагом на некоторой прямой (профиль опробования). Как взять другую реализацию ?<? Можно взять другой профиль опробования, но
23—2567
3S3
он пройдет уже в другом месте, и думать, что вероятностные свойства содержаний полезного компонента будут тем* же для другого профиля, нет оснований. (Например, если один профиль проходит по самому богатому месту рудного тела, а другой — по более бедному, то средние значения величин 11 изменятся.)
Иными словами, изменчивость какого-либо свойства носит смешанный характер — что-то меняется детерминированным образом, а что-то, может быть, и случайным.
Надежда на применение вероятностных методов во многих областях науки связана с тем представлением, что изменчивость в разном масштабе ведет себя по-разному: в крупном масштабе (т. е. на больших расстояниях) мы сталкиваемся с некоторой сложной изменчивостью, а в мелком масштабе (на малых расстояниях) — с вероятностной изменчивостью. Иначе говоря, если есть ряд наблюдений 1?, то описание его в целом вероятностной моделью может быть задачей безнадежной (нли не нужной), но разности для достаточно близких / и s описываются моделью случайных величин. Кстати, если ряд дан нам в единственном экземпляре (но достаточно длинный), то разностей \t—можно получить довольно большое число: из начала ряда, из середины, из конца и т. д.; можно в какой-то мере проверить и однородность статистических свойств этих разностей.
Так, если результаты опробования месторождения по разным профилям явно зависят от профиля, то, может быть, статистические свойства разностей ?<—?, по отдельным (достаточно близким) скважинам в пределах одного профиля уже и не будут зависеть от профиля. Взятием разности детерминированная (крупномасштабная) компонента изменчивости приводится приблизительно к нулю, а мелкомасштабная (случайная) компонента даже несколько подчеркивается.
Изложенные соображения приводят к концепции процесса со стационарными приращениями. Если дан некоторый ряд наблюдений то для всего ряда мы никакой вероятностной модели не строим, но зато разности ?/—14 считаем случайными величинами. Можно говорить о совместном распределении случайных величин: приращений
%, — • • • * S/n — (1)
Приращения (1) назовем стационарными, если совместное распределение (1) не изменится при сдвиге времени: /,•—> —s,—>S/+A (а в рамках корреляционной теории — если математические ожидания и ковариации приращений (1) не меняются при сдвиге времени).
354
Понятие процесса со стационарными приращениями введено А. Н. Колмогоровым в связи с описанием локальной структуры турбулентности. Изложим основы соответствующего математического аппарата.
2.2. Основы математического аппарата. Будем рассматривать только процессы с вещественными значениями. В рамках корреляционной теории нужно задать математические ожидания н ковариации величин (1). Поскольку М(|г—|,) должно зависеть лишь от разности t—s и прн любых s<i< С и выполняется соотношение
М(?а-Ы= Щ1и-Ь+5/-Ч.) - М (г„-?Л+М(?,-ls),
то математическое ожидание не может быть ничем другим, как только линейной функцией
Чаще всего, впрочем, считают, что а=0, т. е. приравнивают нулю математические ожидания приращений (1).
На первый взгляд математическое ожидание произведения
(Б, -
является функцией четырех переменных U, Si, tj, s/ (а с учетом постоянства прн сдвиге времени — трех переменных). Но на самом деле, за счет использования алгебраического равенства
(а—Ь)(с—d)=l /2 {(a—d)2+(&—с)2—(а—с)2—(6—d)2}
дело удается свести к Щ1,— 1Н)2; с учетом же стационарности—к функции М(?, —Ы2-
Определение. Функция Di(t), задаваемая формулой
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed