Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
|'Для понимания этой выкладки следует иметь в виду, что в ней М| выступает в одних местах как число, а в других —как случайная величина, принимающая единственное значение: например, M(Mg)2= (Mg)2. Так в математическом анализе в выражении sinje+l единица выступает то как число, то как функция, тождественно равная 1.)
Таким образом, Dg выражается через Mg и М|2. Поскольку Dg>0, то получаем, что M?2>(Mg)2. Заметим, что выражение Mg* называется моментом k-го порядка случайной величины |. Моменты — это тоже параметры распределения.
После этих общих определений рассмотрим пример распределения Пуассона. Пусть случайная величина при*
Х«
нимает значения Q, 1, 2, . . . , причем Р{? = /л} = — е-л.
3-2567
зз
т ев
Вычислим М|: Щ= 2 mP|?=m} = 2 _ п, в-х—Хв~хХ
«¦*0 m—1 \ ''
оо 1
Хт?1 (т — I)! ~ Х‘
Небольшое вычисление показывает, что D| также равняется Я. Поскольку Dg=M(|—М|)2, то типичное значение ||—Mgl имеет порядок величины УЯ. Если Я велико, то Я^УЯ, так что отклонение возможных значений величины | от М|=Я мало по сравнению с Я; в этом смысле |«Я по порядку величины.
Попытаемся теперь практически применить распределение Пуассона, в частности понять роль, которую могут играть в жизни общества маловероятные события. В математической теории случайная величина — это функция от элементарного события; в приложениях это число, характеризующее исход случайного эксперимента. Поэтому, говоря о случайных величинах в приложениях, мы должны как-то представлять себе ансамбль возможных случайных экспериментов.
Пусть нам сообщили такое «статистическое данное»: вероятность аварии самолета равна 10-6 за один час полета (это не реальное, а некоторое произвольное число). Преимущество чисел такого рода состоит в том, что ясно, по крайней мере, как они получаются: нужно взять (за определенный промежуток времени для определенной группы самолетов) общее число аварий и разделить его на общее число летных часов. Недостаток же этих чисел состоит в том, что при ближайшем анализе становится затруднительным сказать, вероятность какого именно события они характеризуют: слишком различны самолеты и условия полета, чтобы можно было все промежутки полета длительностью в 1 ч считать ансамблем статистически однородных экспериментов. Поэтому к выводам, получаемым из таких данных, нужно относиться не как к имеющим точный количественный смысл, а как к некоторым качественным рассуждениям.
Как в этой качественной модели применить закон Пуассона? Поскольку речь идет о редких событиях, будем предполагать, что число аварий в какой-то совокупности полетов есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона. Для подсчета параметра Я заметим, что математические ожидания суммируются: будем разбивать рассматриваемую группу полетов на полеты длительностью в 1 ч и суммировать соответствующее число раз 10-6. Тут есть некоторое противоречие: если речь идет о полетах одного человека, то наша модель выглядит так, что после гибели этого лица в одной аварии оио воскресает и намеченное число полетов выполняет» Это огрубление несущественно, поскольку вероятность отдельной аварии в наших расчетах будет довольно малой.
34
Сначала рассмотрим вопрос об опасности полетов на самолете с точки зрения отдельного лица: пусть некто в течение 20 ч в год летает в служебные командировки и продолжает это дело в течение 30 лет до выхода на пенсию. Общее число часов полета 600, пуассоновский параметр
Ji=10-e-600=6-10-4,
а вероятность гибели равна
1—Р{|=0}=1—е-х«Х=610-4.
Эта вероятность пренебрежимо мала в сравнении с вероятностью смерти от других причин (о продолжительности человеческой жизни см. ниже в этой книге).
Теперь рассмотрим тот же вопрос с точки зрения общества в целом. Пусть в служебные командировки (по 20 летных часов в год) летает 10® человек. Математическое ожидание для числа погибших | (за 30 лет) будет
М| = 106А,= 10е • 6 • 10-4=600.
Не следует думать, что число погибших тоже будет подчиняться закону Пуассона. (Если | — пуассоновская случайная величина, то k\, k=2, 3,..., уже не подчиняется закону Пуассона. Это означает, что если маловероятные события могут возникать целыми группами — а так и бывает в авиационных авариях: при аварии гибнет группа людей, — то распределения Пуассона не будет.) Дисперсия D| числа погибших будет в несколько раз больше, чем М|, но все-таки можно ориентироваться по порядку величины колебаний на ТМ|, поскольку VM?<^M?. Итак, то, что пренебрежимо мало с точки зрения отдельного лица, никак не мало с точки зрения общества в целом.
Теперь рассмотрим ту же задачу с точки зрения члена летного экипажа. Продолжительность рабочей недели у нас (грубо) 40 ч, т. е. 2000 ч за год. Таким образом, если бы все рабочие часы были летными (на самом деле это не так), то, допустим, за 20 лет работы члеи экипажа находился бы в воздухе 4 104 ч. Пуассоиовский параметр
