Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Почему в теории вероятностей центральную роль играют множества уровня случайных величин и распределения вероятностей? Дело в том, что даже счетное Q может быть весьма сложным (прямое произведение большого числа пространств). Задание вероятностной меры в таком Q, особенно если не предполагается независимости, может быть затруднительным. Но случайная величина может принимать одно и то же значение а,- на многих а, и тогда определение вероятностей pi=P(%=Oi) — из опыта на основании частоты наступления события {1=а(} или как-нибудь иначе — может быть делом более простым, чем определение вероятностей Р(<о). Однако при большом числе различных значений о,- даже определение вероятностей pi может быть сложным. Поэтому распределение вероятностей на практике пытаются характеризовать каким-то небольшим набором чисел, которые называются параметрами. Важнейшим таким параметром является математическое ожидание.
Определение. Математическим ожиданием М* случайной величины !=!((i>) называется сумма
№= Е1(ш)Р(о)) (2)
(в предположении, что 2 l5(ui)P(a>) < 00V V «со /
Если предположение абсолютной сходимости не выполнено, то говорят, что случайная величина | не имеет математического ожидания.
Из формулы (2) очевидным образом вытекают следующие правила исчисления:
М(с|) =сМ|, если с — константа;
М(Ц-т1)=М|+Мт1, если Ml и Mtj существуют
31
(второе из этих правил вытекает из того, что абсолютно сходящиеся ряды можно складывать почленно). В этих правилах подразумевается, конечно, что с| — это случайная величина, определяемая соотношением (с|) (co)=c|(cd), а сумма |+т) — это случайная величина, определяемая соотношением (|+©) (со) =!((¦>)+т)(со). При этом случайные величины | и т) должны быть определены на одном и том же пространстве элементарных событий (это всегда подразумевается).
Лемма. Для любой функции f(x) вещественного переменного
Mft?) = 2/(«i)P«. I3)
ai
где р<=Р{1=0(>, a f (1) (со) =/[?(со)].
Доказательство. Лемма, конечно, верна только в том случае, если ряд в правой части (3) сходится абсолютно. Рассмотрим следующие преобразования:
м/Ш=2Ш)РН»
o?Q
= 2Г 2 Я6(«*))Р(«01 = 5Г 2 /№(<•*)] =
а{ |u:g(u)—а( I а{ I ю:5(м)—a, I
=2Г/(«0 2 Р(°>) 1 = 2 Дл/)Р{6 = «Л =
at I »:5(»)=в| I Qj
= 2 f(ai)p,. ai
Очевидно, что все ряды, участвующие в этих преобразованиях, одновременно сходятся или не сходятся абсолютно. В предположении же абсолютной сходимости существует некоторое конечное число членов ряда, сумма которых не более чем на заданное е>0 отличается от суммы ряда, в то время как сумма модулей остальных членов не более е. Поэтому всевозможные группировки членов ряда сводятся к группировкам слагаемых в конечной сумме и тем самым законны. Следовательно, произведенные преобразования верны, что н доказывает лемму.
В частности, полагая f(x)=x, получаем
М/(?)-М6-2«,р„ (4)
что в виде словесного «заклинания» выглядит так: математическое ожидание случайной величины равно сумме ее значений, умноженных на вероятности этих значений. Таким образом, математическое ожидание однозначно определяется распределением случайной величина.
32
Замечание. Но если (4) прннять за определение математического ожидания, то будет неудобно доказывать, что MlS+il) =М| + Мг|.
Математическое ожидание имеет точную и прозрачную механическую аналогию. Если распределение случайной величины (1) изобразить в виде одномерной механической система, поместив в точку с абсциссой as массу то, в силу условия Z.pi= 1, получим, что есть абсцисса центра масс такой системы. Механикам, правда, обычно не приходит в голову особо оговаривать, что 2|а,-|/>,<оо, ибо размеры механических систем конечны. Но в теории вероятностей вместе со случайной величиной 1 часто приходится рассматривать, например, 1/|, 1п| или tg|, так что условие абсолютной сходимости существенно, ибо без иего правила исчисления (скажем, M(| + r))=M|-fMri) просто неверны.
Если математическое ожидание есть некий центр, вокруг которого группируются возможные значения случайной величины, то, наверное, должен существовать и параметр распределения, характеризующий величину возможного разброса значений случайной величины вокруг их центра. Мы его немедленно получаем из механической аналогии: в механике это — момент инерции, а в теории вероятностей — дисперсия.
Определение. Дисперсией D| случайной величины ? называется число, определяемое формулой
Щ - - 1Л1)а = 2 (а, - МI)* Pi (5)
•«
(предполагается, конечно, что ряд в правой части сходится).
Проделаем следующую небольшую выкладку:
Щ=М(|—М|)2=М(?2—2М|-|+ №)>) -=М|2—М(2М| • 1) + М(М|)2=
= М|2—2 (М1)2+ (1Л|)2=1Л?2- (Mil)2.
