Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Легко проверить, что найденная нами функция /(х) = х, действительно, удовлетворяет неравенствам (3) и других решений у этой системы неравенств нет.
Ответ: /(х) = х .
4. Найдите все функции /, заданные на R, непрерывные в нуле и удовлетворяющие при всех х е R уравнению
f(x) = f(ax), (6)
где а - заданное действительное число, удовлетворяющее неравенству
\а\ф\.
Решение. Пусть существует функция /, непрерывная в нуле и удовлетворяющая при всех х из R уравнению (6). Пусть х0 - произвольная, но фиксированная точка числовой прямой R. Сначала рассмотрим случай, когда \а >1. Придавая в тождестве (6) переменной х последовательность значений
а а а
получим бесконечную цепочку равенств
Я*о) = / Итак, для любого neN
гх л ло
уап;
/(*„) = / -7 ¦ (7)
Переходя в равенстве (7) к пределу при п —> +оо будем иметь
Дх0)=Ит/р^| = ДО), (8)
"->+о° у а
что законно в силу непрерывности функции / в точке х = 0. В самом деле, при
п -» +оо аргумент хп = —> 0. Тогда в силу непрерывности функции / в
ап
точке х = 0 следует, что /(хп)—»¦ /(0). А это означает справедливость (8). В
силу произвольности точки х0 следует, что / (х) = /(0) = const = с. Легко заметить, что /(х) = с удовлетворяет уравнению (6).
Когда |#|<1 уравнение (6) решается аналогично. В этом случае в тождестве (6) переменной х следует придавать следующие значения:
Xq 9 CC Xq , ..., CC Xq , ... .
Тогда при любом п е N имеем
/(*о) =/(«"¦*<>)¦
Переходя здесь к пределу при п —> оо, получим
/(х) = /(0) = const.
Ответ: / (х) = const.
5. Найдите все функции g', определенные на R, ограниченные в
окрестности нуля, и удовлетворяющие при всех х е R функциональному уравнению
g(x)=jSg(ax), (9)
где а и Р - заданные действительные числа, удовлетворяющие условиям \а\ <1 и\р\<\ или | а | > 1 и | Р\>\.
Решение. Пусть существует функция g(x), с отмеченными в условиях задачи требованиями, х0 - произвольная, но фиксированная точка числовой прямой.
Пусть | о: | < 1 и \Р\<\- Придавая в тождестве (9) х последовательность значений
Xq, CC Xq, CC Xq, , CC Xq , ... ,
получим последовательность равенств
?(*<>)= Pg(axo), g(ax0)=Pg(a2x0)............. g(an~l х0)= рg(an х0), ....
Отсюда
g(x0)= Р2 g(a2 хо) = - = Р" g(a" *„) = •¦• ¦
По условию функция g(x) ограничена в окрестности нуля, поэтому переходя в равенстве
g(x0)= Р" g(a" х0)
к пределу при п —> +оо , получим
g(х0) = limРп g(ап х0) = 0.
П-> со
В силу произвольности точки х0 следует, что g(x) = 0 на R . Функция g(x) = 0 удовлетворяет уравнению (9).
Теперь рассмотрим случай |ог|>1 и |/?|>1. Уравнение (9) перепишем в следующем виде:
g(ax) = /g(x), у = \/р.
В последнем равенстве, придавая переменной х последовательность значений
Хп Хп Хп
’ 2 ’ ¦" ’ г,
а а а
получим
ё(хо) ~Т S
,ё
Гё
Ч'
ка2 j
Отсюда
ё(х0) = Гпё
~>ё
г чл \а"/
/ л
rg
ка у
при любом натуральном п . Переходя здесь к пределу при п —> оо, имеем
g(x0) = \im/ng
= 0.
Следовательно, g(x) = 0 на R.
Ответ: g (х) == 0 .
6. Найдите все функции /, определенные на R, ограниченные в
окрестности нуля и удовлетворяющие при всех хе R функциональному уравнению
= X
(10)
Решение. Поскольку правая часть, т.е. свободное от неизвестной функции / слагаемое, равна х2, то решение уравнения (10) будем искать в виде
fix) - ах2 +Ьх + с,
(11)
где а , b , с - неизвестные пока действительные числа. Подставляя (11) в (10), получим:
2 ь 1
ах +Ьх + с —
гх')2 , х
— +&-+С
\2у 2
= х
или
Id 2 3& L. 2 А А
— х Н-------хН— = х +0-Х + 0.
с
8 4 2
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем а = 7/8, Ь = с = 0. Тогда
Дх) = 8х2/7. (12)
Теперь покажем, что других, кроме (12), решений уравнения (10) нет. Решение уравнения (10) будем искать в виде
8х2
/(x) = g(x) + —, (13)
где g(x) - произвольная функция, заданная на R и ограниченная в окрестности
нуля. Подставив функцию (13) в (10), относительно g(x) получаем функциональное уравнение
g(x)"g
г хЛ
v2y
= 0. (130
Уравнение (13^ относится к классу уравнений вида (9). В силу задачи 5 (в нашем случае а = Р = 1/2) уравнение (13^ имеет только нулевое решение. Следовательно, решением функционального уравнения (10) является функция (12).
